Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $48$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $120^\circ$, относится к двум равным острым углам:$$2\alpha=120^\circ,\quad \alpha=60^\circ$$
- 2
Найдём длину стороны ромба по его периметру:$$a=\frac{48}{4}=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 40. Гипотенуза равна 41. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$
- 2
Наименьшая средняя линия параллельна меньшему катету и равна его половине:$$m = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$$
Найдите площадь ромба, если его высота равна 5, а острый угол ромба равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через высоту и острый угол.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения и найдём сторону ромба.$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{5}{1/2} = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 31$. Найдите $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $AB = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{300}{15} = 20$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 15$, а прилежащий катет — $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 17$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Обозначим $AH = a$, $HC = c$. Тогда из условия $AC = 17$ получаем:$$a+c=17$$
- 2
Поскольку $M$ — середина $AC$, расстояние от $H$ до $M$ равно $\dfrac{|a-c|}{2}$. По теореме Пифагора:$$BM^2=BH^2+\left(\frac{a-c}{2}\right)^2,\qquad BC^2=BH^2+c^2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $49$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании supplementary внешнему углу:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $BM$ — катет, лежащий напротив угла $A = 30^\circ$.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 49$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 28$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы при основании равны, стороны, лежащие напротив них, равны: $AB = BC = 28$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, а биссектриса $BK$ является медианой и высотой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $5$, а $\tg A = 0{,}25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём половину основания треугольника:$$0{,}25 = \dfrac{5}{AM},\quad AM = \dfrac{5}{0{,}25} = 20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 18$, $\sin A = \frac{3}{5}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $AB$ противоположна углу $C$, а сторона $BC$ — углу $A$.$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 28$, а $\tg A = \dfrac{3}{2}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 14$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABH$ выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{BH}{14} = \dfrac{3}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 10 и 55. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 10 \cdot 33 = 330$$
- 2
Выразим высоту, проведённую к большей стороне, через площадь.$$h = \dfrac{S}{55} = \dfrac{330}{55} = 6$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 14$, боковая сторона $BC = 50$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
- 2
Вычислим длину половины основания:$$KC = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 30. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Найдём катет $AC$ по площади:$$30 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 5$$
- 2
Вычисляем длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{60}{5} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 80$, площадь ромба равна 320. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$S = \dfrac{AC \cdot BD}{2}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём вторую диагональ:$$320 = \dfrac{80 \cdot BD}{2},\quad BD = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 91$, $AC = 168$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{168}{2} = 84$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{91^2 - 84^2} = \sqrt{8281 - 7056} = \sqrt{1225} = 35$$
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{5}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{1}{5}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{1}{5}=72^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150°$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $60$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании дополнительный к внешнему углу:$$\angle A = 180° - 150° = 30°$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, причём $BM=60$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $56^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ACD$, поэтому её величина вдвое больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ACD}=2\cdot 56^\circ=112^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому найдём её величину.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 42^\circ=84^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении