Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $30$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому если сумма двух углов равна $120^\circ$, каждый из них равен $60^\circ$.$$\alpha=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами ромба равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Два других угла также равны $60^\circ$, значит треугольник равносторонний.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{29}$, $BC = 2$. Найдите $\tg A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{29})^2 - 2^2} = \sqrt{25} = 5$$
- 2
Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$
Сторона ромба равна 25, одна из его диагоналей равна 48. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина данной диагонали равна:$$\frac{48}{2}=24$$
- 2
Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали по теореме Пифагора:$$x=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 15$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольного треугольника 120. Один из катетов 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим второй катет через $b$. По формуле площади прямоугольного треугольника:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot b$$
- 2
Найдём второй катет:$$b = \dfrac{2 \cdot 120}{24} = 10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 6$, а её площадь равна 49. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$49 = \frac{8 + 6}{2}h = 7h$$
- 2
Находим высоту трапеции:$$h = 7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле найдём дугу $AD$, на которую опирается угол $ABD$:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot82^\circ=164^\circ$$
- 2
Аналогично найдём дугу $CD$, на которую опирается угол $CAD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot28^\circ=56^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обе диагонали параллелограмма равны 29. Одна из сторон параллелограмма равна 20. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Обозначим неизвестную сторону параллелограмма через $x$. По теореме о параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
- 2
Подставим известные значения.$$29^2 + 29^2 = 2(20^2 + x^2)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 25. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана, проведённая из вершины треугольника и одновременно являющаяся биссектрисой, делит противоположную сторону и угол так, что стороны, прилежащие к этому углу, равны: $AB = BC$.
- 2
Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана $BM$ также является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $35$, $\tg \angle CAD = \dfrac{4}{7}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ выразим сторону $AD$ через известную сторону $BC$ и тангенс угла.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
- 2
Подставим значения и найдём длину стороны $AD$.$$AD = 35 \cdot \dfrac{4}{7} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 31$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол и внешний угол при одной вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому выражаем его через гипотенузу и синус угла.$$BC = AB \cdot \sin A$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 54^\circ$ и $\angle BDC = 33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 54^\circ + 33^\circ = 87^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 5. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Если медиана треугольника одновременно является биссектрисой, то треугольник равнобедренный: $AB = BC$. Поэтому медиана $BM$ также является высотой.$$BM \perp AC$$
- 2
Медиана делит угол $B$ пополам, значит угол $ABM$ равен $60^\circ$.$$\angle ABM = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности радиуса 12 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 12 = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $BCE$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного десятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Дуга $BE$, не содержащая вершину $C$, проходит через вершины $A$, $J$, $I$, $H$, $G$, $F$ и состоит из 7 равных дуг.$$7\cdot36^\circ=252^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $155^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ является смежным с внешним углом.$$\angle B = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 25^\circ$.$$\angle A = \angle B = 25^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 35$, $AC = 42$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна:$$\dfrac{AC}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $55$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол при основании равен:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а угол $A$ равен $30^\circ$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь ромба, если его высота равна 14, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения и найдём сторону:$$14=a\sin30^\circ=a\cdot\frac{1}{2},\quad a=28$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 14 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 14 = 28$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде