Стороны параллелограмма равны 20 и 110. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 66. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Выразим площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту, опущенную на неё:$$S = 20 \cdot 66$$
- 2
Выразим ту же площадь через большую сторону и искомую высоту $h$:$$S = 110h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 7$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BC}{7}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 3$, $BC = 1$, а её площадь равна 48. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$48 = \dfrac{3 + 1}{2} \cdot h$$
- 2
Находим высоту трапеции:$$h = \dfrac{48 \cdot 2}{4} = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 50$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ делит основание $AC$ пополам и является высотой.$$AM = \dfrac{AC}{2} = 25$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$$
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC=23$. Найдите длину диаметра окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике $AOC$ радиусы $OA$ и $OC$ равны. Длина хорды выражается через радиус и центральный угол.$$AC=2R\sin\frac{\angle AOC}{2}=2R\sin30^\circ=R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 58$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополнительны к внешним:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Углы при основании равны, поэтому $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABK$:$$BK = AB \cdot \sin 30^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $155^\circ$, угол $ABC$ равен $139^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как лучи $LB$ и $LC$ являются противоположными, углы $ALB$ и $ALC$ supplementary.$$\angle ALB=180^\circ-155^\circ=25^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ABL$. Его угол при вершине $B$ равен углу $ABC$.$$\angle BAL=180^\circ-139^\circ-25^\circ=16^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 26$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними, поэтому каждый из них равен:$$\angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
Углы при вершинах $A$ и $C$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$. Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = 9$.
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HC = 18-x$, а $MH = x-9$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 18$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle D = 104^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что $ABCD$ — дельтоид. Его диагональ $BD$ является осью симметрии, поэтому противоположные углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 28. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM=\angle MBC=60^\circ$. По теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, следовательно, $AB=BC$.$$AB=BC$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$:$$BM=AB\cos 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольного треугольника 210. Один из катетов 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 210}{21} = 20$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{21^2+20^2} = \sqrt{841} = 29$$
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $6$. Найдите периметр ромба.
- 1
Сумму $120^\circ$ имеют два смежных угла ромба: $60^\circ$ и $120^\circ$.
- 2
Для ромба со стороной $a$ и углом $60^\circ$ меньшая диагональ равна$$d=a\sqrt{2-2\cos 60^\circ}=a\sqrt{2-1}=a$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Обозначим $AH = x$. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = 19$.
- 2
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $BHC$ и $BHM$:$$BC^2 = BH^2 + (38-x)^2, \quad BM^2 = BH^2 + (19-x)^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 18$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Найдём диаметр окружности:$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $\angle ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 73^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 73^\circ = 146^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $BD = 2\sqrt{21}$. Найдите синус угла $ABD$.
- 1
В ромбе все стороны равны, поэтому $AD = AB = 5$. Рассмотрим треугольник $ABD$.$$AB = AD = 5$$
- 2
По теореме косинусов найдём косинус угла $ABD$:$$\cos\angle ABD = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2AB\cdot BD} = \frac{BD}{2AB} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 13. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, а также является биссектрисой угла $B$. По теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, значит, $AB=BC$.
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Кроме того, $\angle ABM=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$, следовательно, $\angle ABM=60^\circ$ и $\angle BAM=30^\circ$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 21$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде