Найдите площадь ромба, если его высота равна 50, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{50}{1/2} = 100$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120°$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 23. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Медиана $BM$, являющаяся также биссектрисой угла $B$, делит противоположную сторону пополам и угол пополам. Поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC$.
- 2
Так как $\angle B=120°$, то $\angle ABM=60°$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 15$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 41$, $AC = 18$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 18/2 = 9$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $AB = 41$.$$41^2 = 9^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = \dfrac{7}{24}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = 7$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{7}{7/24} = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 48$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам.$$AD = DC = \dfrac{AC}{2} = 24$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора найдём высоту $BD$.$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 94^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая. Следовательно, соответствующие углы равны: $\angle A = \angle C$.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 12, $\tg \angle CAD = 0{,}16$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$.$$CD = AB = 12$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 41$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 45$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 45$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 44$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике отношение катета $BC$ к гипотенузе $AB$ равно синусу угла $A$.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{44}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 37$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{37}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 18^\circ$ и $\angle BDC = 97^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ$$
- 2
Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD$), она равнобедренная. Углы при основании $AD$ равны, значит $\angle BAD = \angle ADC = 115^\circ$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 27$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому используем синус.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{27}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 11, $\tg \angle CAD = 0{,}1$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 11$.$$CD = 11$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $16$. Найдите периметр ромба.
- 1
Противоположные углы ромба равны, поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются тупыми и каждый равен $120^\circ$.$$120^\circ=\frac{240^\circ}{2}$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике половина меньшей диагонали равна $a\cos 60^\circ$.$$\frac{d}{2}=a\cos 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $15$, а $\tg A = 2{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $AM = MC$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $123^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$$
- 2
Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 57^\circ$.$$\angle A = \angle B$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 27$. Найдите $BD$.
- 1
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 27$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 39^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.$$\angle ADB = 90^\circ$$
- 2
В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде