На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 36^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot36^\circ=72^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 12$, $AC = 70$.
- 1
Медиана делит сторону $AC$ пополам, поэтому$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{70}{2} = 35$$
- 2
Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=4:5$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Их площади можно сравнить как произведение двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные отношения сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 29$, $AC = 40$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам:$$\frac{AC}{2} = 20$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$h = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 78$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AM = MC = 39$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{78}{2} = 39$$
- 2
Пусть $AH = x$. Тогда $MH = x - 39$, а $HC = 78 - x$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$ и с учётом условия $BM = BC$:$$(x - 39)^2 + BH^2 = (78 - x)^2 + BH^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{4}{9}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{4}{9}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{4}{9} = 160^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{160^\circ}{2} = 80^\circ$$
Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $270^\circ<\alpha<360^\circ$.
- 1
Применяем основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
- 2
Подставляем значение синуса и находим квадрат косинуса.$$\cos^2\alpha=1-\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $138^\circ$, угол $CAD$ равен $83^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary, поэтому$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-138^\circ=42^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол:$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-83^\circ-42^\circ=55^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $92^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$AC = BC \Rightarrow \angle A = \angle B$$
- 2
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 44^\circ$, $\angle D = 128^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Его диагональ $BD$ — ось симметрии, поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C + 44^\circ + 128^\circ = 360^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 30$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 8. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
Высота $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой основания, поэтому $AK = KC = 30 : 2 = 15$.$$AK = KC = 15$$
- 2
Выберем координаты $K(0,0)$, $B(0,8)$ и $C(15,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, получаем $P(7{,}5,4)$.$$P\left(\frac{0+15}{2},\frac{8+0}{2}\right)=(7{,}5,4)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 111^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть $AB = 1$, тогда $AC = 2$. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $111^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AB,AC)=\cos111^\circ$$
- 2
Выразим диагональ $BD$: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $52$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а $BC$ — его гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{BC}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 42^\circ$, $\angle D = 48^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит четырёхугольник на треугольники $ABD$ и $CBD$. Они равны по трём сторонам.$$AB = BC,\ AD = CD,\ BD = BD$$
- 2
Соответствующие углы равных треугольников равны, поэтому углы $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 20. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{4}{3}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, для угла $A$ тангенс равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A=\dfrac{BC}{AC}$$
- 2
Находим длину катета $AC$:$$\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{AC}\quad\Rightarrow\quad AC=15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 18^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 10. Найдите длину большей дуги.
- 1
Центральный угол большей дуги равен разности полного угла и угла меньшей дуги.$$\alpha_{\text{большей}} = 360^\circ - 18^\circ = 342^\circ$$
- 2
Длины дуг пропорциональны их центральным углам.$$l_{\text{большей}} = 10 \cdot \frac{342}{18} = 190$$
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
- 2
Найдём центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 25$, $\sin A = \dfrac{3}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике $AB = BC$, поэтому углы при основании равны: $A = C$. Тогда угол при вершине равен $B = 180^\circ - 2A$.
- 2
Так как угол $A$ острый, из $\sin A = \dfrac{3}{5}$ получаем $\cos A = \dfrac{4}{5}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $26$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Поэтому медиана к основанию является также высотой, то есть $BM \perp AC$.$$BM \perp AC$$
- 2
Угол при вершине $B$ равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 16$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $30$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 30 = 60$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении