Площадь прямоугольника равна 12, а одна из сторон равна 4. Найдите диагональ этого прямоугольника.
- 1
Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \frac{S}{a} = \frac{12}{4} = 3$$
- 2
Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$$
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 13$. Найдите $BD$.
- 1
Противоположные углы параллелограмма равны. Поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
- 2
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Значит, $AB = AD = 13$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 16.
- 1
Найдём сторону квадрата: площадь квадрата равна квадрату его стороны.$$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$$
- 2
Стороны ромба и квадрата равны, значит сторона ромба также равна 4.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $115^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$\angle A = \angle B$$
- 2
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине — смежные.$$\angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите высоту $CH$.
- 1
По условию $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}8$. Так как $BC = 20$, найдём гипотенузу через синус угла $A$: $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{20}{0{,}6} = \dfrac{100}{3}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = \dfrac{100}{3} \cdot 0{,}8 = \dfrac{80}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK=9$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $12$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC=2MN=2\cdot12=24$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, поэтому $AK=12$.$$AK=\frac{AC}{2}=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 13$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.
- 1
Разность оснований равна горизонтальной проекции боковой стороны $CD$. По теореме Пифагора:$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
- 2
Длина большего основания равна сумме меньшего основания и найденной проекции:$$AD = BC + x = 13 + 5 = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 9$, а периметр параллелограмма равен $46$.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны равны. Из условия о периметре:$$2(AB + BC) = 46$$
- 2
Подставим $AB = 9$ и найдём длину стороны $BC$:$$BC = \frac{46}{2} - 9 = 14$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^\circ$, угол $CAD$ равен $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary:$$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$$
- 2
В треугольнике $ACD$ найдём угол $ACD$:$$\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ - 48^\circ = 52^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $AC = 24$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам, поэтому половина основания равна $12$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 12$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BK$:$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 42$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренний угол треугольника при вершине $A$ равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Аналогично, угол при вершине $C$ также равен $30^\circ$.$$\angle A = \angle C = 30^\circ$$
- 2
Против равных углов лежат равные стороны, поэтому $AB = BC$. Треугольник равнобедренный, а биссектриса $BK$ является высотой.
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 1$, а её площадь равна $35$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. Запишем площадь трапеции:$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2}h = \frac{4 + 1}{2}h = \frac{5h}{2}$$
- 2
Треугольник $ABC$ имеет основание $BC$ и ту же высоту $h$:$$S_{ABC} = \frac{BC \cdot h}{2} = \frac{h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $180$, сторона $BC = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \frac{180}{15} = 12$$
- 2
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$, а $AD = BC = 15$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $CAH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного десятиугольника, равен:$$360^\circ : 10 = 36^\circ$$
- 2
Дуга $CH$, не содержащая вершину $A$, состоит из пяти равных дуг:$$5 \cdot 36^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 17$, $AC = 16$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 8$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 8$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 4 и 10, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции равна проекции боковой стороны на перпендикуляр к основанию:$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
- 2
Площадь трапеции вычисляется как полусумма оснований, умноженная на высоту:$$S = \frac{4+10}{2}\cdot 4 = 28$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $20$, а $\tg A = \dfrac{20}{21}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём половину основания:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{20}{AM} = \dfrac{20}{21},\quad AM=21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 21, одна из средних линий равна 10. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельной ей. Так как средняя линия равна 10, соответствующая сторона равна 20.$$b = 2 \cdot 10 = 20$$
- 2
Средняя линия не может быть параллельна катету 21, поскольку тогда её длина была бы 10,5. Следовательно, сторона 20 — второй катет.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $34$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а $BC$ — его гипотенуза.
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 16^\circ$, $\angle 2 = 71^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона восходящей секущей к прямой $m$ равен углу $\angle 2$.$$\alpha = 71^\circ$$
- 2
Угол наклона нисходящей секущей к левому направлению прямой $m$ равен $\angle 1$.$$\beta = 16^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении