В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $33$, $\tg \angle CAD = \dfrac{2}{3}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 33$.$$AD = BC = 33$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{2}{3}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 19$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{19}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Находим сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{2}{1/2} = 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 140^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $28$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Градусная мера большей дуги равна разности между полной окружностью и меньшей дугой.$$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$$
- 2
Длины дуг пропорциональны их градусным мерам.$$l_{\text{больш}} = 28 \cdot \frac{220}{140} = 44$$
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $40$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, угол $ABM$ равен $60^\circ$.$$\angle ABM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Медиана, которая одновременно является биссектрисой, проведена к основанию равнобедренного треугольника и перпендикулярна основанию. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 14. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба делятся пополам, поэтому их половины равны:$$\frac{48}{2}=24,\quad \frac{14}{2}=7$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 59$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:$$AM=MC=\dfrac{AC}{2}=29{,}5$$
- 2
Обозначим $AH=x$. Тогда $HC=59-x$, а $HM=AH-AM=x-29{,}5$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике одна из сторон равна 35, а диагональ равна 37. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону:$$b = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{1369 - 1225} = \sqrt{144} = 12$$
- 2
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$$S = 35 \cdot 12 = 420$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 52$, $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике $AB = BC = 52$, а углы при основании равны: $A = C$.$$B = 180^\circ - 2A$$
- 2
По условию $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Так как угол $A$ острый, $\cos A = \dfrac{12}{13}$.$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 60^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $19$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Центральный угол меньшей дуги равен $60^\circ$, поэтому меньшая дуга составляет $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$ длины окружности.$$\ell_{\text{меньш.}} = \frac{1}{6}L$$
- 2
Длина всей окружности равна:$$L = 19 \cdot 6 = 114$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 9$, $AC = BD = 41$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
Найдём длину второй стороны прямоугольника по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $168$, $BC = 24$. Найдите синус угла $CAB$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{168}{24} = 7$$
- 2
Треугольник $ABC$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 35$. Найдите $BD$.
- 1
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому $AB = AD = 35$.$$AB = AD = 35$$
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия следует:$$\angle A = \angle C = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 39$. Найдите $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180^\circ$.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AB$ является гипотенузой. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона ромба равна 5, одна из его диагоналей равна 8. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали равна $8 : 2 = 4$. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, по теореме Пифагора найдём половину второй диагонали.$$x^2 + 4^2 = 5^2$$
- 2
Вычислим $x$ и длину второй диагонали.$$x = \sqrt{25 - 16} = 3,\quad d_2 = 2x = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике одна из сторон равна 99, а диагональ равна 101. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b = \sqrt{101^2 - 99^2} = \sqrt{(101 - 99)(101 + 99)} = \sqrt{2 \cdot 200} = 20$$
- 2
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.$$S = 99 \cdot 20 = 1980$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 34$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 12$, $AC = 12\sqrt{3}$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Проведём высоту $BD$ к основанию $AC$. Тогда $AD = DC = \dfrac{AC}{2} = 6\sqrt{3}$.$$AD = DC = 6\sqrt{3}$$
- 2
Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора найдём высоту $BD$.$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 14$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ supplementary к внешнему углу:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Поскольку $AB = BC = 14$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 30^\circ$, поэтому $\angle B = 120^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 39$, $\cos A = \dfrac{5}{13}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — прилежащим к углу $A$ катетом.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \cos A = 39 \cdot \dfrac{5}{13} = 15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде