В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 9$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $40$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания.$$AC = 2MN = 2 \cdot 40 = 80$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана $BK$ к основанию делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 40$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 34$, $\sin A = \dfrac{8}{17}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике $AB = BC = 34$, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 2\angle A$, и $\sin B = \sin 2A$.$$\sin B = \sin 2A$$
- 2
Найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\frac{15}{17}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 8$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOC$ дополняет угол $COB$ до $180^\circ$:$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды $AC$ через радиус $R$ и центральный угол $AOC$ равна:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 20 и 100. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 60. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 20 \cdot 60 = 1200$$
- 2
Выразим высоту, опущенную на большую сторону.$$h = \dfrac{S}{100} = \dfrac{1200}{100} = 12$$
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $112^\circ$, угол $ABC$ равен $106^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Жауап дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Так как точка $L$ лежит на стороне $BC$, угол $ACL$ также равен $x$.$$\angle ACB = \angle ACL = x$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ALC$. Найдём угол $CAL$.$$\angle CAL = 180^\circ - 112^\circ - x = 68^\circ - x$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 25$, площадь ромба равна $125$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$125 = \dfrac{25 \cdot BD}{2}$$
- 2
Отсюда длина второй диагонали равна:$$BD = \dfrac{2 \cdot 125}{25} = 10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона равна 82. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $57-21=36$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками.$$\frac{57-21}{2}=18$$
- 2
Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора, используя боковую сторону как гипотенузу.$$h=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6400}=80$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 140^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Жауап дайте в градусах.
- 1
Обозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:$$AD^2=(2a)^2+a^2-2\cdot2a\cdot a\cos140^\circ=a^2(5-4\cos140^\circ)$$
- 2
Пусть диагонали рассматриваются как векторы $\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y$ и $\overrightarrow{BD}=\vec y-\vec x$, где $|\vec x|=a$, $|\vec x+\vec y|=2a$. Из условия на угол $ACD$:$$a^2+\vec x\cdot\vec y=2a^2\cos140^\circ,\qquad \vec x\cdot\vec y=a^2(2\cos140^\circ-1)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $12$. Найдите периметр ромба.
- 1
Противоположные углы ромба равны, поэтому сумма двух углов $240^\circ$ относится к двум равным тупым углам. Каждый из них равен:$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
- 2
Смежный с ним угол равен:$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 10$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{5}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам: $AH = HC = 5$.$$AH = \dfrac{AC}{2} = 5$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По определению тангенса угла $A$ найдём высоту.$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad \dfrac{\sqrt{11}}{5} = \dfrac{BH}{5},\quad BH = \sqrt{11}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{13}$, а один из катетов равен 2.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{60}{61}$. Гипотенуза $AB = 122$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 122 \cdot \frac{60}{61} = 120$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{5}{18}$ длины окружности. Жауап дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{5}{18}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha=360^\circ\cdot\dfrac{5}{18}=100^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta=\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{100^\circ}{2}=50^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $AC = 32$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
По теореме косинусов для угла $BAC$:$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$
- 2
Подставим известные значения и найдём косинус угла:$$20^2 = 20^2 + 32^2 - 2 \cdot 20 \cdot 32 \cdot \cos \angle BAC$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = 0{,}75$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания.$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{3}{0{,}75}=4$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$. Площадь треугольника равна 20. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.$$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BC$$
- 2
Найдём катет $AC$ по условию о площади.$$20 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 4,\quad AC = 10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $22$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе равны противоположные углы. Поэтому два угла, сумма которых равна $120^\circ$, равны по $60^\circ$.$$\alpha = \beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Это равносторонний треугольник, так как угол между сторонами равен $60^\circ$. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали: $a = 22$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 12, $\tg \angle CAD = 0{,}15$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $CD = AB = 12$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{12}{AD}$$
- 2
Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{12}{0{,}15} = 80$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $12$, а $\tg A = \dfrac{12}{5}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.
- 1
Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = 12$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{12}{5},\quad AM = 5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Одна из диагоналей ромба равна 14, а его площадь равна 336. Найдите сторону ромба.
- 1
По формуле площади ромба найдём вторую диагональ:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 336}{14} = 48$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $7$ и $24$:$$a = \sqrt{\left(\dfrac{14}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$$