Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $46^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $AB$ является секущей. Поэтому углы $A$ и $B$ — односторонние, их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$$
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.
- 1
Окружность вписана в квадрат, поэтому сторона квадрата равна диаметру окружности.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата:$$a = 2 \cdot 40 = 80$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. $AB = 9$, $BC = 5$, $CD = 7$. Найдите $AD$.
- 1
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные длины сторон и найдём основание $AD$.$$AD = AB + CD - BC = 9 + 7 - 5 = 11$$
Диагональ ромба равна 30, а другая диагональ равна 20. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Найдём площадь ромба по его диагоналям.$$S=\dfrac{30\cdot20}{2}=300$$
- 2
Сторона ромба равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей.$$a=\sqrt{15^2+10^2}=5\sqrt{13}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ ромба равна 8, а площадь ромба равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
- 1
Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади:$$24 = \dfrac{8d_2}{2},\quad d_2 = 6$$
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник:$$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен $13$. Найдите $AC$, если $BC = 24$.
- 1
Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, сторона $AB$ является диаметром окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 13 = 26$$
- 2
Угол $ACB$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. Применяем теорему Пифагора:$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $6\sqrt{3}$. Найдите сторону треугольника.
- 1
Расстояние от центра окружности до стороны равностороннего треугольника является радиусом вписанной в треугольник окружности.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим сторону треугольника через радиус и подставим значение расстояния.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.
- 1
Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
- 2
Найдём сторону квадрата.$$a = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Используем формулу радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус:$$a = R\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, следовательно, $AB$ является диаметром окружности.$$AB \text{ — диаметр}$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $108^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, углы $A$ и $B$ являются односторонними внутренними углами при пересечении параллельных прямых боковой стороной $AB$.$$A+B=180^\circ$$
- 2
Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-108^\circ=72^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 6$, $BC = 8$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
- 2
Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA = 32^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle NBA$ опирается на дугу $NA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{NA}=2\angle NBA=2\cdot32^\circ=64^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ANB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{NB}=180^\circ-64^\circ=116^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $36\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 36\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{72\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 72$$
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $153^\circ$. Ответ дайте…
- 1
Так как точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, соответствующую центральному углу $AOB$.
- 2
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0{,}96$. Диаметр описанной около него окружности равен $25$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому длина диагонали равна $25$.$$d = 25$$
- 2
Сторона, лежащая напротив данного угла, равна произведению диагонали на синус угла.$$b = d\sin\alpha = 25 \cdot 0{,}96 = 24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны через радиус:$$a = R\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
- 1
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
- 2
Выразим длину стороны треугольника и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 21$$