Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет свойство: суммы его противоположных углов равны $180^\circ$.$$\alpha + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим два оставшихся угла:$$180^\circ - 59^\circ = 121^\circ, \quad 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $BC$.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - (\sqrt{51})^2 = 100 - 51 = 49$$
- 2
Следовательно, $BC = 7$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{10} = 0{,}7$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $41^\circ$. Найдите величину угла $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $\angle ACB$ и $\angle AOB$ опираются на одну дугу $AB$, поэтому центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD=180^\circ-82^\circ=98^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $55^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $29^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $A$, то углы $CAD$ и $DAB$ равны.$$\angle DAB=\angle CAD=29^\circ$$
- 2
Найдём величину угла $A$ треугольника $ABC$.$$\angle A=29^\circ+29^\circ=58^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $BC = 4$. Найдите $\cos A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$
- 2
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6$$
Найдите величину угла $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$, а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна…
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle OAC = 90^\circ$$
- 2
Центральный угол равен величине соответствующей дуги.$$\angle AOB = 66^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $\angle ACB$ и $\angle AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 59^\circ = 118^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $10$, угол $C$ равен $30^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
- 1
По теореме синусов сторона $AB$ выражается через радиус описанной окружности и противолежащий угол $C$.$$AB=2R\sin C$$
- 2
Подставим известные значения:$$10=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\frac12=R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите центральный угол, если он на $28^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим величину острого вписанного угла через $x$. Тогда центральный угол равен $x+28^\circ$.
- 2
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.$$x+28=2x$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $23^\circ$. Найдите величину угла $ADB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ треугольника $ABC$ равен удвоенному углу $BAD$.$$\angle A=2\angle BAD=2\cdot23^\circ=46^\circ$$
- 2
Найдём угол $B$ треугольника $ABC$ по сумме углов треугольника.$$\angle B=180^\circ-46^\circ-54^\circ=80^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $130^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOB$ является смежным с углом $AOD$:$$\angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$
- 2
Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$. Вписанный угол равен половине центрального:$$\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$.
- 1
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна удвоенному вписанному углу.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot98^\circ=196^\circ$$
- 2
Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot44^\circ=88^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $BC = \sqrt{19}$. Найдите $\cos A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = 10$$
- 2
По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{81} = 9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $110^\circ$ и $80^\circ$. Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник обладает свойством: суммы его противоположных углов равны $180^\circ$.$$A+C=180^\circ,\quad B+D=180^\circ$$
- 2
Угол, противоположный углу $110^\circ$, равен:$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 14$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.
- 1
Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы длин его противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Вычислим сумму известных противоположных сторон:$$AB + CD = 14 + 17 = 31$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите величину вписанного угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают развернутый угол.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$
- 2
Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$, поэтому он в два раза меньше центрального угла.$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $60$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.
- 1
Поскольку $E$ — середина стороны $AD$, длина отрезка $AE$ вдвое меньше длины $AD$:$$AE = \dfrac{AD}{2}$$
- 2
У параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ABE$ общая высота к прямой $AB$. Основание треугольника $AE$ вдвое меньше основания параллелограмма $AD$, а площадь треугольника также содержит множитель $\dfrac{1}{2}$:$$S_{ABE} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AE}{AD} \cdot S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 60$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с равными углами при вершинах $A$ и $B$.$$\angle A = \angle B = 73^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Острый угол прямоугольного треугольника равен. Найдите величину угла между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$. Направление медианы, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе, определяется отношением катетов и поэтому зависит от $\alpha$.
- 2
Биссектриса прямого угла образует с катетами углы по $45^\circ$. Поэтому угол между биссектрисой и медианой выражается через данный острый угол как $|45^\circ-\alpha|$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 24, вписана окружность, $AB = 5$. Найдите длину стороны $CD$.
- 1
В четырёхугольнике, в который вписана окружность, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Периметр состоит из двух равных сумм противоположных сторон, поэтому сумма $AB + CD$ равна половине периметра.$$AB + CD = \dfrac{24}{2} = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде