Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на 1. После 7 прыжков расстояние от начала координат не может превышать 7, а координата будет нечётной.$$x \in \{-7,-5,-3,-1,1,3,5,7\}$$
- 2
Подсчитываем количество возможных координат.$$\frac{7-(-7)}{2}+1=8$$
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 70^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, равна удвоенному углу.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot70^\circ=140^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-140^\circ=40^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 40$, $\tg A = \dfrac{7}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$ найдём высоту $BM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{7}{5},\quad BM = 20 \cdot \dfrac{7}{5} = 28$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В начале прошлого учебного года в школе было 1500 учащихся, а в начале этого учебного года их стало 1725. На сколько процентов увеличилось за год число учащихся?
- 1
Найдём прирост числа учащихся:$$1725 - 1500 = 225$$
- 2
Определим, какую долю от первоначального числа составляет прирост:$$\dfrac{225}{1500} \cdot 100\% = 15\%$$
В таблице приведены размеры штрафов, установленных на территории России за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической видеофиксации нарушений…
- 1
Найдём превышение разрешённой скорости:$$90 - 40 = 50\ \text{км/ч}$$
- 2
Превышение на 50 км/ч попадает в диапазон от 41 до 60 км/ч.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $\left(3\frac{3}{5} - 3{,}1\right) \cdot 7\frac{1}{2}$.
- 1
Преобразуем смешанные числа в десятичные дроби:$$3\frac{3}{5}=3{,}6,\qquad 7\frac{1}{2}=7{,}5$$
- 2
Вычислим разность в скобках:$$3{,}6-3{,}1=0{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $6{,}8 \cdot 8{,}5 + 2{,}1$.
- 1
Сначала вычислим произведение:$$6{,}8 \cdot 8{,}5 = 57{,}8$$
- 2
Прибавим к полученному результату $2{,}1$:$$57{,}8 + 2{,}1 = 59{,}9$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 14$, $\sin A = 0{,}5$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{14}{0{,}5} = 28$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 3, а объём параллелепипеда равен 360. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{360}{10 \cdot 3} = 12$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
- 1
Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами $37$ и основанием $24$.
- 2
Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора:$$h = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = 35$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 41. Одна из сторон параллелограмма равна 9. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
- 2
Обозначим неизвестную сторону через $x$. По теореме Пифагора:$$9^2 + x^2 = 41^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите значение выражения $\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{4}}$.
- 1
Приведём слагаемые в знаменателе к общему знаменателю:$$1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$$
- 2
Разделим единицу на полученную дробь:$$\dfrac{1}{\frac{5}{4}} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$$
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 55^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, то $\angle DMB = \angle DMC = 55^\circ$.$$\angle CMB = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$$
- 2
Луч $MA$ и луч $MB$ являются противоположными, поэтому смежные углы $CMA$ и $CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
Каждый прыжок изменяет координату на $1$ или на $-1$. За четыре прыжка координата может измениться от $-4$ до $4$.
- 2
После четырёх прыжков возможны только координаты той же чётности, что и число прыжков: $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля — 25. Сколько партий…
- 1
Коля сыграл больше партий, чем Миша, поэтому в этой последовательности партий он оставался победителем, а Миша и Лёша поочерёдно заменяли друг друга после проигрыша.
- 2
Всего партий с участием Коли было 25. В них соперниками Коли были Миша и Лёша, причём их количества отличаются на одну партию.
Ещё 1 шаг — в полном решении
На поверхности глобуса фломастером проведены 20 параллелей и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
Двадцать параллелей разделяют поверхность глобуса на 21 полосу: между соседними параллелями и в двух полярных областях.$$20+1=21$$
- 2
Каждый из 15 меридианов проходит через каждую полосу и делит её на 15 частей.$$21\cdot 15=315$$
На поверхности глобуса фломастером проведены 24 параллели и 17 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…
- 1
Проведённые 17 меридианов сходятся в полюсах и делят поверхность глобуса на 17 частей.$$17$$
- 2
Каждая из 24 параллелей пересекает каждый из 17 получившихся секторов и увеличивает число частей на 17.$$24 \cdot 17$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во всех…
- 1
Обозначим через $x$ число квартир на одном этаже. Тогда в одном подъезде $5x$ квартир, а перед двенадцатым подъездом расположено $11 \cdot 5x=55x$ квартир.
- 2
Номер квартиры 465 должен находиться в двенадцатом подъезде:$$55x < 465 \leq 60x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. В пачке чая 25 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?
- 1
Найдём количество пакетиков чая, необходимое на все дни конференции.$$60 \cdot 3 = 180$$
- 2
Разделим общее количество пакетиков на число пакетиков в одной пачке и округлим результат вверх, так как неполную пачку купить нельзя.$$\left\lceil \dfrac{180}{25} \right\rceil = \left\lceil 7{,}2 \right\rceil = 8$$
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 15 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 435 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…
- 1
Пусть расстояние между пунктами равно $S$. Время движения туда и обратно соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{15},\quad t_2 = \dfrac{S}{435}$$
- 2
Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути к общему времени:$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{\frac{S}{15}+\frac{S}{435}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении