Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 5 больших фишек, отдав 13 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 26…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 13 фишек и получает 5 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 8.$$13 - 5 = 8$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось с 50 до 26, то есть на 24 фишки.$$50 - 26 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа электрического тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения напряжения, времени и сопротивления в формулу работы тока.$$A = \dfrac{7^2 \cdot 18}{14}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{49 \cdot 18}{14} = 63$$

Сравнение стоимости поездки

Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд для одного человека стоит 1800 рублей. Автомобиль расходует 15 литров…

1. 1
   Вычислим стоимость билетов на поезд для трёх человек.$$3 \cdot 1800 = 5400$$
2. 2
   Определим расход бензина автомобилем на расстояние 700 км.$$15 \cdot \frac{700}{100} = 105$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подбор билетов по стоимости

Михаил решил посетить Парк аттракционов. Сведения о билетах на аттракционы представлены в таблице. Некоторые билеты позволяют посетить сразу два аттракциона. Пользуясь таблицей, подберите билеты…

1. 1
   Выберем билет 1: он позволяет посетить комнату страха и комнату смеха.
2. 2
   Для посещения автодрома выберем билет 2, а для посещения колеса обозрения — билет 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Автобусы для перевозки детей

В летнем лагере 192 ребёнка и 35 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не больше 28 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти:$$192 + 35 = 227$$
2. 2
   Определим количество автобусов. Восемь автобусов перевезут $8 \cdot 28 = 224$ человека, поэтому для оставшихся трёх человек нужен ещё один автобус.$$\left\lceil \frac{227}{28} \right\rceil = 9$$

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 11…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника.$$p = \frac{11+13+20}{2} = 22$$
2. 2
   Применим формулу Герона.$$S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Время скачивания файла

Файл размером 0,6 Гбайта скачался за 12 минут (скорость загрузки считайте постоянной). За сколько минут скачается файл размером 1,4 Гбайта, если скорость загрузки останется прежней?

1. 1
   При постоянной скорости загрузки время прямо пропорционально размеру файла.$$x = 12 \cdot \dfrac{1{,}4}{0{,}6}$$
2. 2
   Вычислим время скачивания файла размером 1,4 Гбайта.$$x = 12 \cdot \dfrac{1{,}4}{0{,}6} = 28$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 12$…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 3{,}5$ и $R = 12$.$$P = 3{,}5^2 \cdot 12$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 12{,}25 \cdot 12 = 147$$

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 260 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 160 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Расстояние от города A до места встречи равно разности расстояния между городами и расстояния от города B до места встречи.$$s_A = 260 - 160 = 100\ \text{км}$$
2. 2
   Скорость автомобиля из города A равна отношению пройденного расстояния ко времени движения.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{100}{2} = 50\ \text{км/ч}$$

Расчёт сдачи за бензин

На автозаправке клиент отдал кассиру 2000 рублей и залил в бак 24 литра бензина. Цена бензина 59 рублей за литр. Сколько рублей сдачи должен получить клиент?

1. 1
   Найдём стоимость бензина:$$24 \cdot 59 = 1416$$
2. 2
   Определим размер сдачи:$$2000 - 1416 = 584$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 6 и меньшие 10, каждое из них принимает одно из значений $7$, $8$ или $9$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=186$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Составление суммы из цифр

На шести карточках написаны цифры 5; 5; 6; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ квадратики заменили карточками из данного…

1. 1
   Составим сумму из всех данных цифр: однозначного, двузначного и трёхзначного чисел.$$6 + 59 + 785 = 850$$
2. 2
   Полученная сумма оканчивается на 0, поэтому делится на 10. При этом $850$ не делится на 20, так как последние две цифры образуют число 50, не кратное 20.$$850 : 10 = 85,\quad 850 : 20 \notin \mathbb{Z}$$

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \frac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 59$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \frac{5}{9}(59 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \frac{5}{9} \cdot 27 = 15$$

Автобусы для лагеря

В летнем лагере 153 ребёнка и 24 воспитателя. В одном автобусе можно перевозить не больше 25 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$153 + 24 = 177$$
2. 2
   Определим необходимое количество автобусов. Результат деления округляем вверх, поскольку все люди должны разместиться в автобусах.$$\left\lceil \frac{177}{25} \right\rceil = \left\lceil 7{,}08 \right\rceil = 8$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v=\sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты 90…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 90}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем и извлечём квадратный корень:$$v=\sqrt{1764}=42$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\text{м}/\text{с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\text{с}^{-1}$), а $R$…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 12\ \text{с}^{-1}$ и $R = 0{,}5\ \text{м}$.$$a = 12^2 \cdot 0{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 144 \cdot 0{,}5 = 72$$

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 10\sin 150^\circ$$
2. 2
   Так как $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, высота трапеции равна:$$h = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^\circ$, угол $CAD$ равен $49^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина в два раза больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot70^\circ=140^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому величина дуги $CD$ равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot49^\circ=98^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 20$, $BC = 21$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{841} = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ширина прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 60 см, а высота экрана 36 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его высоты и ширины.$$60^2 = 36^2 + x^2$$
2. 2
   Найдём квадрат ширины:$$x^2 = 60^2 - 36^2 = 3600 - 1296 = 2304$$

Ещё 1 шаг — в полном решении