На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 81^\circ$. Найдите величину угла $CMA$.
- 1
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle DMB = \angle DMC = 81^\circ$$
- 2
Вычислим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 81^\circ + 81^\circ = 162^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Колесо имеет 8 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
- 1
Восемь спиц делят полный угол вокруг центра колеса на 8 равных углов.$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{8}$$
- 2
Вычисляем величину угла между соседними спицами.$$\alpha = 45^\circ$$
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Общее число квартир равно произведению числа подъездов, числа этажей в одном подъезде и числа квартир на этаже.$$455 = p \cdot f \cdot k$$
- 2
Разложим 455 на простые множители.$$455 = 5 \cdot 7 \cdot 13$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 18$, $AC = 48$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
- 2
Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 24^2 + 18^2 = 900$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 3 большие фишки, отдав 9 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 26…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 9 маленьких фишек и получает 3 большие, поэтому общее число фишек уменьшается на 6.$$9 - 3 = 6$$
- 2
Всего количество фишек уменьшилось с 50 до 26, то есть на 24 фишки.$$50 - 26 = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Алексею нужен пылесос. В таблице показано 6 предложений от разных магазинов и их удалённость от дома Алексея. Алексей хочет купить пылесос в магазине, который находится не дальше 1,3 км от его дома…
- 1
Условию удалённости не больше 1,3 км удовлетворяют магазины 1 и 5: 1,2 км и 0,8 км соответственно.$$1{,}2 \leq 1{,}3,\quad 0{,}8 \leq 1{,}3$$
- 2
Сравниваем стоимость пылесосов в этих магазинах: 4990 руб. и 4539 руб. Наименьшая стоимость — 4539 рублей.$$\min(4990,4539)=4539$$
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Рассмотрим число $1412$. Проверим равенство суммы цифр их произведению.$$1+4+1+2=8$$
- 2
Произведение цифр этого числа также равно 8.$$1\cdot4\cdot1\cdot2=8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 3000, но меньшее 3200, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны.
- 1
Рассмотрим число $3195$. Все его цифры различны: $3$, $1$, $9$ и $5$.
- 2
Число $3195$ делится на $3$, так как сумма его цифр равна $3+1+9+5=18$, делится на $9$, так как $18$ делится на $9$, и делится на $5$, так как оканчивается цифрой $5$. На $1$ делится любое натуральное число.$$3195:3=1065,\quad 3195:1=3195,\quad 3195:9=355,\quad 3195:5=639$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для группы иностранных гостей требуется купить 13 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Цена путеводителя и условия доставки всей покупки приведены в таблице. Во…
- 1
В магазине А стоимость покупки с доставкой составляет:$$13 \cdot 290 + 200 = 3970$$
- 2
В магазине Б сумма заказа равна $13 \cdot 260 = 3380$ рублей, что не превышает 3800 рублей. Поэтому доставка стоит 400 рублей:$$3380 + 400 = 3780$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для ремонта требуется 62 рулона обоев. Какое наименьшее число пачек обойного клея нужно приобрести для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов?
- 1
Найдём, сколько пачек клея потребуется, разделив количество рулонов на норму одной пачки.$$\frac{62}{6}=10\frac{1}{3}$$
- 2
Так как приобрести часть пачки нельзя, округляем результат в большую сторону.$$\lceil 10\frac{1}{3}\rceil=11$$
Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 11 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?
- 1
За один полный день и последующую ночь улитка поднимается на$$3 - 1 = 2\ \text{м}$$
- 2
После төрт таких циклов высота улитки составит$$4 \cdot 2 = 8\ \text{м}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В таблице приведены данные о шести чемоданах. По правилам авиакомпании сумма трёх измерений — длины, высоты и ширины — чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна…
- 1
Проверим сумму трёх измерений и массу каждого чемодана.
- 2
Для чемодана 1: сумма измерений равна 202 см, масса равна 23 кг. Оба условия выполнены.$$105 + 55 + 42 = 202 \leq 203$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На соревнованиях по прыжкам в воду судьи выставили оценки от 0 до 10 трём спортсменам. Результаты приведены в таблице. Итоговый балл вычисляется следующим образом: две наибольшие и две наименьшие…
- 1
Для спортсмена 1 после отбрасывания двух наибольших и двух наименьших оценок остаются $7{,}0$, $6{,}8$ и $6{,}5$.$$(7{,}0+6{,}8+6{,}5)\cdot 8=162{,}4$$
- 2
Для спортсмена 2 остаются оценки $6{,}9$, $7{,}3$ и $7{,}6$.$$(6{,}9+7{,}3+7{,}6)\cdot 7{,}5=163{,}5$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения.
- 1
Вычисляем значение выражения, соблюдая порядок выполнения арифметических действий.
- 2
Получаем результат 8.
Найдите $\tg\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{26}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
- 1
Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол находится во второй четверти, поэтому косинус отрицателен.
- 2
Найдём косинус угла по основному тригонометрическому тождеству.$$\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha = 1-\frac{1}{26} = \frac{25}{26},\quad \cos\alpha=-\frac{5}{\sqrt{26}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 26, $\tg \angle CAD = 0{,}65$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{AB}{AD}$$
- 2
Найдём длину стороны $AD$.$$AD = \frac{AB}{\tg \angle CAD} = \frac{26}{0{,}65} = 40$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Объём конуса равен $18\pi$, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты:$$18\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 326, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…
- 1
Переставляя цифры числа 326 и выбирая число, большее 326, получаем возможные номера первой страницы после выпавших листов: 362, 623 и 632.$$362,\ 623,\ 632$$
- 2
Число выпавших страниц должно быть чётным, поскольку каждый лист содержит две страницы. Для вариантов получаем: $362 - 326 - 1 = 35$, $623 - 326 - 1 = 296$, $632 - 326 - 1 = 305$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 3 часа. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем у…
- 1
Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея составляет:$$v_С=\dfrac{1}{3}$$
- 2
Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}5,\qquad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{12}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Решите уравнение $x^2 = 4x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 4x = 0$$
- 2
Вынесем $x$ за скобки и найдём корни.$$x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде