В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 26$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен$$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 1{,}75$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания.$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{7}{1{,}75} = 4$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В школе есть двухместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 29 человек?
- 1
Одна палатка рассчитана на двух Адам.
- 2
Чтобы разместить 29 Адам, найдём частное и округлим его вверх до целого числа палаток:$$\left\lceil \dfrac{29}{2} \right\rceil = \left\lceil 14{,}5 \right\rceil = 15$$
Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 60$…
- 1
Переведём длину шага в метры: $60$ см = $0{,}6$ м.$$l = 0{,}6\ \text{м}$$
- 2
Подставим значения в формулу расстояния:$$s = nl = 1500 \cdot 0{,}6 = 900\ \text{м}$$
Рабочий получил задание за 10 полных дней вымостить плиткой парковочную площадку. Однако он выполнил задание не за 10, а за 14 полных дней, так как каждый день отклонялся от нормы на…
- 1
Пусть площадь парковочной площадки равна $S\ \text{м}^2$. Плановая дневная норма составляет:$$\dfrac{S}{10}$$
- 2
Фактическая дневная производительность при выполнении работы за 14 дней составляет:$$\dfrac{S}{14}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{7}}$.
- 1
Приведём сумму в знаменателе к общему знаменателю:$$1 + \dfrac{1}{7} = \dfrac{7}{7} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{8}{7}$$
- 2
Разделим единицу на полученную дробь:$$\dfrac{1}{\frac{8}{7}} = \dfrac{7}{8}$$
Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно хозяйке для…
- 1
Найдём массу лимонной кислоты для 6 литров маринада.$$12 \cdot 6 = 72\text{ г}$$
- 2
Разделим необходимую массу на массу одного пакетика и округлим результат вверх, так как пакетик нельзя купить частично.$$\left\lceil\frac{72}{10}\right\rceil = \lceil 7{,}2\rceil = 8$$
Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…
- 1
Подставим значения сторон в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{12+16}\sqrt{12\cdot16\left((12+16)^2-14^2\right)}$$
- 2
Вычислим выражение под корнем:$$12\cdot16\left(28^2-14^2\right)=192\cdot588=112896=336^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 18 человек?
- 1
Одна палатка вмещает 4 Адам, поэтому найдём, сколько палаток нужно для 18 Адам:$$\dfrac{18}{4} = 4{,}5$$
- 2
Число палаток должно быть целым, поэтому округляем результат вверх.$$\lceil 4{,}5 \rceil = 5$$
Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 36 миль в час? Считайте…
- 1
Переведём расстояние, которое автомобиль проходит за час, из миль в метры:$$36\cdot1609=57924\ \text{м}$$
- 2
Переведём метры в километры:$$57924\ \text{м}=57{,}924\ \text{км}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 67^\circ$ и $\angle BDC = 28^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC$$
- 2
Найдём угол при вершине $D$:$$\angle ADC = 67^\circ + 28^\circ = 95^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…
- 1
Подставим значения сторон в формулу медианы. Так как $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{10}$, то $a^2 = 7$ и $b^2 = 10$.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7 + 2 \cdot 10 - 3^2}}{2}$$
- 2
Вычислим выражение под корнем и найдём медиану.$$m_c = \dfrac{\sqrt{14 + 20 - 9}}{2} = \dfrac{\sqrt{25}}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, а высота фонаря 5 м?
- 1
Большой треугольник образован фонарём и всей длиной от фонаря до конца тени, то есть его основание равно $x+8$.
- 2
Малый треугольник образован человеком и его тенью длиной 8 м. Треугольники подобны, поэтому составим пропорцию:$$\dfrac{5}{x+8}=\dfrac{1{,}6}{8}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $9{,}4 \cdot 10^2 + 5{,}4 \cdot 10^3$.
- 1
Вычислим первое слагаемое:$$9{,}4 \cdot 10^2 = 9{,}4 \cdot 100 = 940$$
- 2
Вычислим второе слагаемое:$$5{,}4 \cdot 10^3 = 5{,}4 \cdot 1000 = 5400$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы в сумме дают $180^\circ$. Поэтому два угла, сумма которых равна $120^\circ$, — это два острых угла по $60^\circ$.$$\alpha = \beta = 60^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Это равносторонний треугольник, так как угол между сторонами равен $60^\circ$.$$a = d_{\text{меньш}} = 14$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $\log_{15} 5 + \log_{15} 45$.
- 1
Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$$
- 2
Объединим логарифмы в один:$$\log_{15} 5 + \log_{15} 45 = \log_{15}(5 \cdot 45) = \log_{15} 225$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 28$, $\tg A = \dfrac{10}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Поэтому половина основания равна $14$.$$\dfrac{AC}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной основания. По определению тангенса найдём высоту.$$\tg A = \dfrac{h}{14} = \dfrac{10}{7},\quad h = 14 \cdot \dfrac{10}{7} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{-5-x}=8$.
- 1
Представим основание и правую часть уравнения в виде степеней двойки:$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-5-x}=\left(2^{-1}\right)^{-5-x}=2^{5+x},\quad 8=2^3$$
- 2
Так как основания степеней равны, приравняем показатели:$$5+x=3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите корень уравнения $4^{3x-4}=16$.
- 1
Представим правую часть уравнения как степень числа $4$:$$16=4^2$$
- 2
Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:$$3x-4=2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 21^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому угол между сторонами $AB$ и диагональю $AC$ равен углу $\angle ACD=21^\circ$.
- 2
Пусть $AB=a$. Тогда $AC=2a$. Направим ось вдоль $AC$. Диагональ $BD$ задаётся разностью векторов $\overrightarrow{AC}$ и $2\overrightarrow{AB}$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде