Базалық математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Автобусы для перевозки детей

В летнем лагере 172 ребёнка и 22 воспитателя. В одном автобусе можно перевозить не больше 30 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти:$$172 + 22 = 194$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость бір автобуса:$$194 : 30 = 6\text{ (остаток }14\text{)}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Время скачивания файла

Файл размером 1,35 Гбайта скачался за 5 минут (скорость загрузки считайте постоянной). За сколько минут скачается файл размером 0,54 Гбайта, если скорость загрузки останется прежней?

1. 1
   При постоянной скорости отношение размера файла ко времени скачивания постоянно.$$\dfrac{1{,}35}{5} = \dfrac{0{,}54}{t}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$t = \dfrac{0{,}54 \cdot 5}{1{,}35} = 2$$

Расстояние по числу қадам

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние $s$ по формуле $s = nl$, где $n$ — число шагов, $l$ — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если $l = 50$…

1. 1
   Подставим в формулу число қадам и длину бір шага:$$s = nl = 1700 \cdot 50 = 85000\ \text{см}$$
2. 2
   Переведём сантиметры в метры: $100$ см = $1$ м.$$85000 : 100 = 850\ \text{м}$$

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 35 м и 20 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 10 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка:$$S_1 = 35 \cdot 20 = 700\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера:$$S_2 = 10^2 = 100\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора вокруг участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 500 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно обнести…

1. 1
   Большая сторона длиной $1000$ м проходит вдоль моря, поэтому забор нужен на другой большой стороне и на двух коротких сторонах.
2. 2
   Складываем длины трёх сторон, которые нужно оградить:$$1000 + 500 + 500 = 2000$$

Стоимость поездки на автомобиле

Семья из трёх человек планирует поехать из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 980 рублей. Автомобиль расходует 12 литров…

1. 1
   Стоимость поездки поездом для трёх Адам:$$3 \cdot 980 = 2940$$
2. 2
   Определим расход бензина автомобиля на расстояние 700 км:$$700 \cdot \dfrac{12}{100} = 84$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $124 : \left(3\dfrac{7}{45} - \dfrac{2}{5}\right)$.

1. 1
   Преобразуем смешанное число и приведём дроби к общему знаменателю:$$3\dfrac{7}{45} = \dfrac{142}{45}, \qquad \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{45}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения в скобках:$$\dfrac{142}{45} - \dfrac{18}{45} = \dfrac{124}{45}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите длину стороны $AB$, если $BC = 3\sqrt{3}$, $AC = 6\sqrt{3}$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ в сумме дают $180^\circ$, поэтому внутренний угол равен $60^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 392, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Первая страница после выпавших листов должна быть больше 392 и состоять из тех же цифр. Наименьшее подходящее число — 923.$$923 > 392$$
2. 2
   Определим количество выпавших бет: бет идут от 393 до 922.$$923 - 392 - 1 = 530$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Стоимость покупки пряжи

Для того чтобы связать свитер, хозяйке нужно 600 граммов шерстяной пряжи синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 80 рублей за 100 граммов, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 70 рублей…

1. 1
   Стоимость 600 граммов готовой синей пряжи:$$600 : 100 \cdot 80 = 480\ \text{рублей}$$
2. 2
   Стоимость 600 граммов неокрашенной пряжи:$$600 : 100 \cdot 70 = 420\ \text{рублей}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 30. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 10 \cdot 18 = 180$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону длиной 30.$$h = \dfrac{S}{30} = \dfrac{180}{30} = 6$$

Стоимость покупки пряжи

Для того чтобы связать свитер, хозяйке нужно 900 граммов шерстяной пряжи красного цвета. Можно купить красную пряжу по цене 60 рублей за 50 граммов, а можно купить неокрашенную пряжу по цене 50…

1. 1
   Определим количество порций пряжи по 50 граммов:$$900 : 50 = 18$$
2. 2
   Стоимость 900 граммов готовой красной пряжи:$$18 \cdot 60 = 1080$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Разбиение глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 23 параллели и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Проведённые 23 параллели разделяют поверхность глобуса на 24 горизонтальные полосы: число полос на одну больше числа параллелей.$$23+1=24$$
2. 2
   Каждый из 15 меридианов проходит через все полосы и делит каждую из них на 15 частей.$$24\cdot 15=360$$

Вероятность вопроса по геометрии

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Геометрия». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 20, а число билетов с вопросом по геометрии — 9.$$n = 20,\quad m = 9$$
2. 2
   По классическому определению вероятности найдём отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$

Площадь зерновых культур

Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 72 гектара и распределена между зерновыми и зернобобовыми культурами в отношении 7 : 2…

1. 1
   Всего в отношении $7 : 2$ содержится $7 + 2 = 9$ частей.$$7 + 2 = 9$$
2. 2
   Найдём площадь одной части.$$72 : 9 = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2(\log_9 81)$.

1. 1
   Представим число $81$ в виде степени основания внутреннего логарифма:$$81 = 9^2$$
2. 2
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_9 81 = \log_9 9^2 = 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Биссектриса равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 20$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы $A$ и $C$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC = 20$. Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Процент повышения цены

Футболка стоила 300 рублей. После повышения цены она стала стоить 360 рублей. На сколько процентов была повышена цена футболки?

1. 1
   Найдём, на сколько рублей повысилась цена футболки.$$360 - 300 = 60$$
2. 2
   Выразим повышение в процентах от первоначальной цены.$$\dfrac{60}{300} \cdot 100\% = 20\%$$

Производительность Кати

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

1. 1
   Производительность совместной работы равна $\dfrac{1}{24}$ грядки в минуту, а производительность Насти — $\dfrac{1}{42}$ грядки в минуту.$$v_{\text{вместе}}=\frac{1}{24},\quad v_{\text{Насти}}=\frac{1}{42}$$
2. 2
   Найдём производительность Кати как разность производительностей совместной работы и Насти.$$v_{\text{Кати}}=\frac{1}{24}-\frac{1}{42}=\frac{42-24}{24\cdot42}=\frac{18}{1008}=\frac{1}{56}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Подъём улитки на дерево

Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   За полный день и последующую ночь улитка продвигается на 1 м: $2 - 1 = 1$ м.
2. 2
   Перед последним подъёмом улитке достаточно оказаться на высоте 8 м. Это происходит после 8 полных дней и ночей.

Ещё 1 қадам — толық шешімде