В доме, в котором живёт Тамара, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Тамара живёт в квартире № 85. В каком подъезде живёт Тамара?
- 1
Определим количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 3 = 27$$
- 2
Первые три подъезда содержат $3 \cdot 27 = 81$ квартиру. Квартира № 85 находится в диапазоне от 82 до 108, который соответствует четвёртому подъезду.$$81 < 85 \leqslant 108$$
Длины двух рек относятся как $8:9$, при этом одна из них длиннее другой на 5 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
- 1
Разность коэффициентов в отношении длин рек равна одной части:$$9-8=1$$
- 2
Если одна часть составляет 5 км, то большая река имеет 9 таких частей:$$9\cdot5=45$$
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 12 и 13. Найдите периметр…
- 1
Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
- 2
Сложим периметры левого верхнего и правого нижнего прямоугольников и вычтем периметр правого верхнего: общие стороны сократятся, останется периметр левого нижнего прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…
- 1
Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше соответствующего числа кусков.$$18-1=17,\quad 12-1=11,\quad 19-1=18$$
- 2
На палке всего белгіленген линий трёх цветов:$$17+11+18=46$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех…
- 1
Пусть в одном подъезде находится $n$ квартир. Так как в подъезде 9 этажей и число квартир на этажах одинаково, $n$ кратно 9. Квартира № 333 находится в десятом подъезде:$$9n < 333 \leqslant 10n$$
- 2
Из неравенств получаем $33{,}3 \leqslant n < 37$, поэтому с учётом кратности 9 имеем:$$n = 36$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $e$, число квартир на этаже — через $a$, а число этажей — через $f$. Общее число квартир равно произведению этих чисел:$$eaf=105$$
- 2
По условию числа должны удовлетворять неравенствам $f>a>e>1$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 21. Найдите площадь…
- 1
Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. При разбиении двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$S_{\text{лев. верх.}} \cdot S_{\text{прав. ниж.}} = S_{\text{прав. верх.}} \cdot S_{\text{лев. ниж.}}$$
- 2
Подставим известные площади:$$3 \cdot 21 = 9x$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 116, во втором — 125, в третьем — 110, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице как сумму чисел по столбцам.$$116 + 125 + 110 = 351$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 20 и меньшее 23, поэтому она равна 21 или 22. Если строк $n$, то общая сумма удовлетворяет неравенству:$$21n \le 351 \le 22n$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Найдём общее число договоров, посчитанных со стороны каждой страны:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 = 16 + 30 = 46$$
- 2
Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$46 : 2 = 23$$
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во всех…
- 1
Пусть на каждом этаже находится $n$ квартир. Тогда в одном семиэтажном подъезде находится $7n$ квартир.
- 2
Перед седьмым подъездом расположены шесть подъездов, поэтому первый номер квартиры в седьмом подъезде равен $42n+1$. Так как квартира № $462$ находится в седьмом подъезде, выполняется неравенство $42n<462\leq49n$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В корзине лежит 32 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 11 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Пусть в корзине $x$ груздей. Если бы груздей было не менее 23, можно было бы выбрать 23 груздя без рыжиков. Поэтому $x \leq 22$.$$x \leq 22$$
- 2
Рыжиков в корзине $32-x$. Если бы их было не менее 11, можно было бы выбрать 11 рыжиков без груздей. Поэтому рыжиков не более 10.$$32-x \leq 10$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Обозначим наименьший угол через $a$, средний — через $b$, а наибольший — через $3a$. Сумма углов, образованных тремя лучами, равна $360^\circ$.$$a+b+3a=360$$
- 2
Выразим средний угол:$$b=360-4a$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В доме всего пятнадцать квартир, их номера от 1 до 15. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в…
- 1
Пусть $y$ — число жителей в квартирах с 11-й по 12-ю, $x$ — число жителей в квартирах с 1-й по 10-ю, а $z$ — число жителей в квартирах с 13-й по 15-ю.$$x+y=14,\quad y+z=13$$
- 2
Так как в каждой квартире живёт от 1 до 3 человек, для первых десяти квартир и последних трёх квартир получаем ограничения:$$10\le x\le30,\quad 3\le z\le9$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в доме через $h$. Тогда общее число квартир равно $p \cdot k \cdot h = 255$.
- 2
Разложим число $255$ на простые множители:$$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?
- 1
Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов:$$8 \cdot 4 = 32$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$32 : 2 = 16$$
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 16 и 32. Найдите площадь…
- 1
У четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведение площадей противоположных частей одинаково.$$14 \cdot S = 16 \cdot 32$$
- 2
Выразим площадь четвёртого прямоугольника:$$S = \dfrac{16 \cdot 32}{14} = 28$$
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную; за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому$$x+y=55$$
- 2
Золотых монет в результате не появилось. При первой операции тратятся 5 золотых монет, а при второй приобретаются 6 золотых монет:$$-5x+6y=0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Обозначим число подъездов через $a$, число квартир на этаже через $b$, а число этажей через $c$. По условию $c > b > a > 1$.
- 2
Общее число квартир равно произведению числа подъездов, этажей и квартир на этаже:$$abc = 105$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В доме, в котором живёт Галя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Галя живёт в квартире № 69. В каком подъезде живёт Галя?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 3 = 15$$
- 2
Первые төрт подъезда содержат квартиры до нөмір:$$4 \cdot 15 = 60$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 108, в третьем — 113, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам трёх столбцов.$$103+108+113=324$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке больше 28, но меньше 31. Так как эта сумма целая, она равна 29 или 30.
Ещё 2 қадам — толық шешімде