Базалық математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Определение нөмір подъезда

В доме, в котором живёт Ася, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Ася живёт в квартире № 57. В каком подъезде живёт Ася?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 36. Квартира № 57 относится ко второму подъезду, так как $36 < 57 \leq 72$.$$2 \cdot 36 = 72$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 7 и 17. Найдите…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Обозначим наименьший угол через $x$, средний угол через $y$, а наибольший через $5x$. Сумма углов вокруг точки равна $360^\circ$.$$x+y+5x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-6x$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Квартира и нөмір этажа

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 5 квартир. Определим, в какую группу из пяти квартир попадает квартира № 49.$$\left\lceil \dfrac{49}{5} \right\rceil = 10$$
2. 2
   Первые 45 квартир занимают 9 этажей, поэтому квартира № 49 находится на 10-м этаже.$$9 \cdot 5 < 49 \leqslant 10 \cdot 5$$

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 68…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$11 - 7 = 4$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 32.$$100 - 68 = 32$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 17 и 8. Найдите периметр…

1. 1
   При разбиении большого прямоугольника двумя разрезами сумма периметров противоположных малых прямоугольников одинакова.$$P_1 + P_3 = P_2 + P_4$$
2. 2
   Подставим известные периметры и найдём периметр четвёртого прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2 = 15 + 8 - 17 = 6$$

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за…

1. 1
   Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 4300$, разностью $d = 1300$ и количеством членов $n = 9$.$$a_1 = 4300,\quad d = 1300,\quad n = 9$$
2. 2
   Общая сумма выплат равна сумме первых тоғыз членов арифметической прогрессии.$$S_9 = \dfrac{9}{2}\left(2 \cdot 4300 + (9-1) \cdot 1300\right)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если…

1. 1
   При разрезе ленты расстояние от места разреза до середины удваивается в разности длин получившихся частей.$$d = 2x$$
2. 2
   Расстояние от красной полоски до середины ленты равно:$$x_{\text{красн.}} = \dfrac{20}{2} = 10\text{ см}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Этажи и квартиры в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в подъезде через $h$. Тогда общее число квартир равно произведению этих чисел:$$p \cdot k \cdot h = 114$$
2. 2
   Разложим 114 на простые множители:$$114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   Если место разреза удалено от середины ленты на $x$ сантиметров, то одна часть длиннее другой на $2x$ сантиметров.$$\Delta=2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{красн}}=\frac{35}{2}=17{,}5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

1. 1
   Найдём сумму сегіз чисел по формуле суммы через среднее арифметическое.$$S_8 = 8 \cdot 13 = 104$$
2. 2
   Найдём сумму всех тоғыз чисел.$$S_9 = 9 \cdot 14 = 126$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое девяти различных натуральных чисел равно 19. Среднее арифметическое этих чисел и десятого числа равно 20. Чему равно десятое число?

1. 1
   Сумма тоғыз чисел равна произведению их среднего арифметического на количество чисел:$$S_9 = 9 \cdot 19 = 171$$
2. 2
   Сумма он чисел равна:$$S_{10} = 10 \cdot 20 = 200$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Провода между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Если сложить количество проводов, отходящих от всех тоғыз столбов, получим $9 \cdot 6 = 54$.
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3800 рублей, а за каждый следующий метр — на 1500 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3800 рублей и разностью 1500 рублей.$$a_1=3800,\quad d=1500,\quad n=6$$
2. 2
   Найдём стоимость шестого метра.$$a_6=a_1+5d=3800+5\cdot1500=11300$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $f$ — число этажей в подъезде, $a$ — число квартир на этаже, $p$ — число подъездов. Тогда $f > a > p > 1$, а общее число квартир равно произведению этих чисел.$$fap = 110$$
2. 2
   Разложим число 110 на три множителя, удовлетворяющих условиям тапсырма:$$110 = 11 \cdot 5 \cdot 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина большей реки

Длины двух рек относятся как 2 : 3, при этом одна из них длиннее другой на 30 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.

1. 1
   Пусть длины рек выражаются через одну долю. Тогда меньшая река имеет длину $2x$, а большая — $3x$.$$3x - 2x = 30$$
2. 2
   Находим величину одной доли:$$x = 30$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 100 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 70 км, между Г и А — 80 км. Все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Суммируем расстояния между А, В и Г, которые образуют всю кольцевую дорогу:$$L=50+70+80=200\text{ км}$$
2. 2
   Половина длины кольцевой дороги равна $100$ км. Так как $АБ=100$ км, точки А и Б расположены на противоположных концах диаметра.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Этаж по нөміріне квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 69. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 6 квартир. Определим, сколько этажей нужно для размещения квартир с номерами от 1 до 69.$$\left\lceil \dfrac{69}{6} \right\rceil$$
2. 2
   Так как после 11 этажей размещаются 66 квартир, квартиры № 67–72 находятся на 12-м этаже. Значит, квартира № 69 расположена на 12-м этаже.$$69 = 6 \cdot 11 + 3$$

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: чёрная, синяя и жёлтая. Слева от чёрной вазы 17 роз, справа от жёлтой вазы 16 роз. Всего в вазах 24 розы. Сколько роз в синей вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от чёрной вазы и справа от жёлтой вазы розы в синей вазе учитываются дважды.
2. 2
   Общее количество роз учитывается один раз, поэтому количество роз в синей вазе равно разности суммы двух данных количеств и общего количества роз.$$17 + 16 - 24 = 9$$