Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 28$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$ делит угол $ABC$ пополам:$$\angle ABK = \angle KBC = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB = 28$ — его гипотенуза.$$BK = AB\cos 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 7$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $16$, а $\tg A = \dfrac{8}{15}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AM$ — половина основания.$$BM \perp AC$$
2. 2
   Используем определение тангенса острого угла $A$:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{8}{15}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 30$, $\sin A = \dfrac{4}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB$ — боковая сторона, то $AB = BC = 30$. Угол при основании равен $A$, поэтому основание выражается формулой $AC = 2 \cdot AB \cdot \cos A$.
2. 2
   Из условия $\sin A = \dfrac{4}{5}$ и из того, что угол $A$ острый, получаем $\cos A = \dfrac{3}{5}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 20 и 130. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 78. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 20 \cdot 78 = 1560$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону, из формулы площади.$$h = \dfrac{S}{130} = \dfrac{1560}{130} = 12$$

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 63^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим длину стороны $AB$ за $a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD = 63^\circ$, поскольку $AB \parallel CD$.$$AB = a,\quad AC = 2a$$
2. 2
   Вектор диагонали $BD$ выражается через векторы $AC$ и $AB$:$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 6$$
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $HM = x - 6$, а $HC = 12 - x$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $172^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 172^\circ = 8^\circ$$
2. 2
   Так как $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A=\angle B=8^\circ$.$$\angle A = 8^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1. 1
   Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$
2. 2
   Выразим площадь треугольника через катеты и через гипотенузу с высотой $h$:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 40$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Так как угол $C$ прямой, найдём угол $A$.$$A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты равны 14 и 48. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{2500} = 50$$
2. 2
   Выразим площадь треугольника двумя способами и приравняем выражения:$$\frac{14 \cdot 48}{2} = \frac{50h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $163^\circ$. Найдите угол $C$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 163^\circ = 17^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle A = \angle B = 17^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 8$, $AC = 2\sqrt{15}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - (2\sqrt{15})^2} = \sqrt{64 - 60} = 2$$
2. 2
   Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{8} = 0{,}25$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна $45$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{15}{8}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{15}{8} = \dfrac{45}{AC},\quad AC = \dfrac{45 \cdot 8}{15}=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 30$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника supplementary внешнему углу, поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ равны:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 166^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $\vec{AC}=\vec{w}$ и $\vec{AB}=\vec{u}$. По условию $|\vec{w}|=2|\vec{u}|$, а угол между этими векторами равен $166^\circ$.$$|\vec{w}|=2|\vec{u}|,\quad \angle(\vec{u},\vec{w})=166^\circ$$
2. 2
   Так как $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$, то $\vec{AD}=\vec{w}-\vec{u}$. Поэтому вектор второй диагонали можно записать так:$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{w}-2\vec{u}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 21$. Найдите $BD$.

1. 1
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, а треугольник с гипотенузой $AB$ имеет угол $30^\circ$.$$\frac{BD}{2} = AB \cdot \sin 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 7$, боковая сторона $BC = 25$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 73$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{73}{2} = 36{,}5$$
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $HC = 73 - x$, а $MH = x - 36{,}5$. По теореме Пифагора:$$BC^2 = BH^2 + (73-x)^2,\quad BM^2 = BH^2 + (x-36{,}5)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 49^\circ$ и $\angle BDC = 31^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому:$$\angle ADC = 49^\circ + 31^\circ = 80^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении