Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 166^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим $\vec{AC}=\vec{w}$ и $\vec{AB}=\vec{u}$. По условию $|\vec{w}|=2|\vec{u}|$, а угол между этими векторами равен $166^\circ$.
$$|\vec{w}|=2|\vec{u}|,\quad \angle(\vec{u},\vec{w})=166^\circ$$Так как $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$, то $\vec{AD}=\vec{w}-\vec{u}$. Поэтому вектор второй диагонали можно записать так:
$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{w}-2\vec{u}$$Поскольку $|\vec{w}|=2|\vec{u}|$, вектор $\vec{BD}$ направлен по разности двух равных по длине векторов: $\vec{w}$ и $2\vec{u}$. Его направление является биссектрисой угла между $\vec{w}$ и противоположным вектором $-2\vec{u}$.
$$\angle(\vec{w},-\vec{u})=180^\circ-166^\circ=14^\circ$$Следовательно, острый угол между диагоналями равен половине угла $14^\circ$.
$$\varphi=\frac{14^\circ}{2}=7^\circ$$Где здесь ошибаются
Взять угол между диагоналями равным $14^\circ$, не разделив его пополам.
Рассматривать угол $166^\circ$ как угол между диагоналями, а не между $AC$ и стороной $AB$.