Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 63^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим длину стороны $AB$ за $a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD = 63^\circ$, поскольку $AB \parallel CD$.
$$AB = a,\quad AC = 2a$$Вектор диагонали $BD$ выражается через векторы $AC$ и $AB$:
$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}$$Разложим вектор $\overrightarrow{BD}$ на составляющие относительно направления $AC$. Тангенс угла $\varphi$ между диагоналями равен:
$$\tan\varphi = \frac{2a\sin 63^\circ}{2a - 2a\cos 63^\circ} = \frac{\sin 63^\circ}{1 - \cos 63^\circ}$$Используем тождество $\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\cot\dfrac{x}{2}$:
$$\tan\varphi = \cot 31{,}5^\circ = \tan 58{,}5^\circ$$Где здесь ошибаются
Принимают угол между сторонами $AB$ и $AC$ за $63^\circ$ без учёта параллельности $AB$ и $CD$.
Путают угол между диагоналями с углом между диагональю и стороной.
Используют отношение длин диагоналей вместо векторного разложения.