ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 38^\circ$. Найдите угол $DCB$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому величина этой дуги вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 38^\circ=76^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $400$, сторона $BC = 50$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $CD$:$$CD = \dfrac{S_{ABCD}}{BC} = \dfrac{400}{50} = 8$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD = BC = 50$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 15$, $\sin A = 0{,}6$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 15 \cdot 0{,}6 = 9$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$

Стороны параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 24. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
2. 2
   Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$b^2 + 24^2 = 25^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 35$, площадь ромба равна 490. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$490 = \dfrac{35 \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Отсюда $BD = 28$. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = 17{,}5$, а $BO = 14$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 25$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 5$, $BC = 4$, а её площадь равна 81. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$81 = \dfrac{5+4}{2}h$$
2. 2
   Находим высоту:$$h = \dfrac{162}{9} = 18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 32^\circ$. Найдите угол $DMB$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CMA$ и $CMB$ являются смежными, так как лучи $MA$ и $MB$ — противоположные.$$\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120°$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $28$. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120°}{2} = 60°$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60° = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 36. Тангенс угла $A$ равен 2,4. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Для угла $A$ тангенс равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину неизвестной стороны.$$2{,}4 = \dfrac{36}{AC},\quad AC = \dfrac{36}{2{,}4} = 15$$

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $15$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Если медиана из вершины одновременно является биссектрисой, то стороны, прилежащие к этой вершине, равны. Следовательно, $AB=BC$, а треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB=BC$$
2. 2
   Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, поэтому угол $ABM$ равен $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, значит треугольник $ABM$ прямоугольный.$$\angle ABM=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ,\quad \angle AMB=90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 24$. Найдите $BD$.

1. 1
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому $AB = AD = 24$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 62^\circ$ и $\angle BDC = 42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 62^\circ + 42^\circ = 104^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC = 104^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 + 40^2 = 41^2$$
2. 2
   Вычислим длину второй стороны:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 18 и 24. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Половины диагоналей ромба равны $18 : 2 = 9$ и $24 : 2 = 12$. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба.$$a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $280$, сторона $BC = 20$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$, равную стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{280}{20} = 14$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD = BC = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{20} = 0{,}7$$

Длина хорды по диаметру

На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 2\sqrt{5}$. Найдите длину хорды $BC$.

1. 1
   Диаметр равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$
2. 2
   Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный.$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$, $AC = 12$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам: $AM = MC = 6$.$$AC = 12 \Rightarrow AM = MC = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 34^\circ$. Найдите величину угла $DCB$.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot34^\circ=68^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Боковая сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $51$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный. Сторона $BM$ лежит напротив угла $30^\circ$.$$BM = \frac{BC}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде