ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Числовые выражения» — жауаптарымен

Среднее арифметическое отметок

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$3495 = 15 \cdot 233$$
2. 2
   По жазбалар чисел восстанавливается последовательность из пяти отметок, сумма которых равна 14.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя белгі за четверть

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на простые множители:$$1150 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23$$
2. 2
   Так как все отметки являются цифрами от $2$ до $5$, множитель $23$ может образоваться только при объединении двух отметок $2$ и $3$ в число $23$. Оставшиеся множители $2$, $5$ и $5$ соответствуют трём отдельным отметкам.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число 7845 на множители так, чтобы запись множителей содержала ровно пять цифр-отметок от 2 до 5:$$7845 = 3 \cdot 5 \cdot 523$$
2. 2
   Следовательно, отметки Пети: $3$, $5$, $5$, $2$, $3$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$3530=2\cdot5\cdot353$$
2. 2
   Множитель $353$ может быть получен объединением трёх последовательных отметок 3, 5 и 3. Оставшиеся множители 2 и 5 являются отдельными отметками. Поэтому набор отметок: 3, 5, 3, 2, 5.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Подберём разбиение последовательности из пяти цифр на множители. Произведение $2640$ можно представить так:$$2640 = 33 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5$$
2. 2
   Это соответствует пяти отметкам $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, причём между первыми двумя отметками поставлен знак умножения после объединения их в число $33$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Представим 945 в виде произведения чисел, составленных из пяти отметок от 2 до 5. Подходит разложение:$$945 = 35 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$$
2. 2
   Значит, последовательность отметок Пети: 3, 5, 3, 3, 3.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі по произведению

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители, соответствующие пяти отметкам. Так как каждая отметка является цифрой от 2 до 5, подходит разложение$$5825 = 5 \cdot 5 \cdot 233$$
2. 2
   Следовательно, пять последовательных отметок Пети: $5$, $5$, $2$, $3$, $3$.$$5+5+2+3+3=18$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3456. Укажите какое-нибудь одно такое…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна 0 или 5. После разворота должно получиться четырёхзначное число, поэтому последняя цифра исходного числа не может быть равна 0. Значит…
2. 2
   Разность числа и числа, записанного в обратном порядке, равна:$$\overline{abcd}-\overline{dcba}=999(a-d)+90(b-c)=3456$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. 1
   Вычислим общий путь автомобиля:$$S = 115 \cdot 1 + 45 \cdot 3 + 40 \cdot 2 = 115 + 135 + 80 = 330\text{ км}$$
2. 2
   Общее время движения равно:$$t = 1 + 3 + 2 = 6\text{ ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 80 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим весь путь через $S$. Каждый из трёх участков имеет длину $S/3$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S/3}{30}+\frac{S/3}{80}+\frac{S/3}{60}=\frac{S}{90}+\frac{S}{240}+\frac{S}{180}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим длину каждой трети пути через $S$. Тогда весь путь равен $3S$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S}{30}+\frac{S}{120}+\frac{S}{40}=S\left(\frac{4}{120}+\frac{1}{120}+\frac{3}{120}\right)=\frac{S}{15}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тетради для трёх учеников

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…

1. 1
   После каждого ученика на столе оставалось две трети имевшихся тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Пусть первоначально на столе было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=16$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость на трассе

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Пусть длина всей трассы равна $3s$. Тогда длина каждого из трёх участков равна $s$.
2. 2
   Найдём время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \frac{s}{60} + \frac{s}{150} + \frac{s}{100}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Тетради трёх учеников

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…

1. 1
   После ухода каждого ученика на столе остаётся две трети лежавших перед этим тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Пусть первоначально было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Прибыль частных акционеров

Государству принадлежит 60 % акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 20 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…

1. 1
   Найдём долю акций, принадлежащую частным лицам:$$100\% - 60\% = 40\%$$
2. 2
   Вычислим сумму прибыли, которая должна пойти частным акционерам:$$20 \cdot 0{,}4 = 8$$

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 324, номер первой страницы после выпавших листов записывается этими же цифрами, но в другом…

1. 1
   Составим числа из цифр 3, 2 и 4, которые больше 324: 342, 423 и 432.
2. 2
   Число выпавших страниц должно быть чётным, поскольку каждый лист содержит две страницы. Для числа 342 между страницами 324 и 342 находятся 17 страниц, а для числа 432 — 107 страниц. Подходит число 423: между страницами 324 и 423 находятся…

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 100 км/ч, а затем один час — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём расстояние, пройденное на каждом участке пути:$$s_1 = 120 \cdot 1 = 120\ \text{км},\quad s_2 = 100 \cdot 3 = 300\ \text{км},\quad s_3 = 40 \cdot 1 = 40\ \text{км}$$
2. 2
   Определим общий путь и общее время движения:$$s = 120 + 300 + 40 = 460\ \text{км},\quad t = 1 + 3 + 1 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация смешанного раствора

Смешали 7 кг 25-процентного раствора вещества с 8 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе:$$7 \cdot 0{,}25 = 1{,}75\ \text{кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе:$$8 \cdot 0{,}10 = 0{,}8\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 21 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 273 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$. Тогда время движения на яхте составляет $\dfrac{S}{21}$, а время полёта — $\dfrac{S}{273}$.$$t = \dfrac{S}{21} + \dfrac{S}{273}$$
2. 2
   Общее расстояние равно $2S$, поэтому средняя скорость равна:$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{\frac{S}{21}+\frac{S}{273}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 16 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 496 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Тогда общее расстояние составляет $2s$, а общее время движения равно сумме времён пути туда и обратно.$$t = \dfrac{s}{16} + \dfrac{s}{496}$$
2. 2
   Средняя скорость равна отношению общего расстояния ко всему времени движения.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{16} + \frac{s}{496}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде