Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Подсчёт правильных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.$$7x - 9y = 56$$
2. 2
   Выразим число неправильных ответов:$$y = \frac{7x-56}{9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geqslant 1$.
2. 2
   Составим уравнение для набранных очков:$$7x - 11y = 84$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 5 минут…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{20}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{21}$ часа.
2. 2
   Петя затратил на выполнение на 5 минут больше. Переведём 5 минут в часы: $5$ минут $= \dfrac{1}{12}$ часа.$$\frac{x}{20} - \frac{x}{21} = \frac{1}{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распилы по разноцветным линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 10 кусков, если по жёлтым — 8 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько…

1. 1
   Число распилов по линиям каждого цвета на единицу меньше числа получившихся кусков.$$10-1=9,\quad 8-1=7,\quad 8-1=7$$
2. 2
   Находим общее число распилов по линиям всех трёх цветов.$$9+7+7=23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 18-процентного раствора вещества с таким же количеством 20-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому их концентраций.$$c = \dfrac{c_1 + c_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения концентраций:$$c = \dfrac{18 + 20}{2} = 19\%$$

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 8 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 30…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 8 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$8 - 4 = 4$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 20.$$50 - 30 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Катя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Катя живёт в квартире № 63. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 36. Второй подъезд начинается с квартиры № 37 и содержит квартиру № 63.$$36 < 63 \leq 72$$

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Ира, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Ира живёт в квартире № 86. В каком подъезде живёт Ира?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Первые три подъезда содержат $3 \cdot 25 = 75$ квартир. Квартира № 86 находится после них, значит, в четвёртом подъезде.$$75 < 86 \leq 100$$

Число жильцов в доме

В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $x$ количество жильцов в квартирах с 9-й по 12-ю. В этой группе 4 квартиры, поэтому $4 \leq x \leq 12$.
2. 2
   В первых восьми квартирах живёт $16-x$ человек. Так как в каждой из них не меньше одного человека, получаем $16-x \geq 8$, то есть $x \leq 8$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество подъездов в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $a$ — число подъездов, $b$ — число квартир на этаже, $c$ — число этажей. Тогда $abc = 110$ и $c > b > a > 1$.$$abc = 110$$
2. 2
   Число $110$ раскладывается на три множителя, удовлетворяющих условию строгого возрастания: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если…

1. 1
   Если полоса находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то при разрезе разность длин частей равна $2x$.$$2x = \Delta$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получающихся кусков.$$15-1=14,\quad 5-1=4,\quad 7-1=6$$
2. 2
   Находим общее число линий, по которым нужно распилить палку.$$14+4+6=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 13 кусков, а если по зелёным — 5 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков, палку нужно распилить по $n - 1$ линиям.$$7-1=6,\quad 13-1=12,\quad 5-1=4$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$6+12+4=22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число жильцов в доме

В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $x$ количество жильцов в квартирах с 9-й по 12-ю. Тогда в квартирах с 1-й по 8-ю живёт $16-x$ человек, а в квартирах с 13-й по 19-ю — $29-x$ человек.$$S = (16-x)+x+(29-x)=45-x$$
2. 2
   В первых восьми квартирах живёт не менее восьми человек, поэтому $16-x \geq 8$, откуда $x \leq 8$.$$16-x \geq 8 \Rightarrow x \leq 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Натуральное число по условию

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них принимает одно из значений $6$, $7$ или $8$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=172$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Улитка на дереве

Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   После каждого дня и ночи, кроме последнего, улитка поднимается на 1 м.
2. 2
   После 7 ночей улитка окажется на высоте 7 м:$$7 \cdot (2 - 1) = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Условие о любых 28 грибах означает, что груздей не может быть 28 или больше: иначе можно было бы выбрать 28 груздей без рыжика. Значит, груздей не более 27.$$G \leq 27$$
2. 2
   Условие о любых 24 грибах означает, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздя. Значит, рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 15 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   Если место разреза находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то разность длин получившихся частей равна $2x$.$$\Delta=2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 17 и 19. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид: $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первых восьми этажах размещаются квартиры с номерами от 1 до 48:$$8 \cdot 6 = 48$$
2. 2
   Квартира № 50 находится среди квартир 49–54, расположенных на девятом этаже.$$\left\lceil \dfrac{50}{6} \right\rceil = 9$$