221ФИПИ 58FA38№ 19Күрделі Найдите трёхзначное число, кратное 30, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число $240$ трёхзначное, его цифры $2$, $4$ и $0$ различны. Оно оканчивается на $0$, а сумма цифр равна $2+4+0=6$, поэтому число делится на $10$ и на $3$, значит, делится на $30$.$$240 = 30 \cdot 8$$
- 2
Вычислим сумму квадратов цифр:$$2^2+4^2+0^2=4+16=20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
222ФИПИ 58FFA0№ 19Күрделі Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1300, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число четырёхзначное и меньше $1300$, его первая цифра равна $1$, а вторая — $0$, $1$ или $2$. Цифры должны быть различными и ненулевыми, поэтому вторая цифра может быть только $2$.
- 2
Рассмотрим число $1236$. Все его цифры различны и не равны нулю.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
223ФИПИ 59CBB3№ 19Күрделі Найдите четырёхзначное число, кратное 125, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число, кратное 125, должно оканчиваться одним из возможных остатков при делении на 1000: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 или 875.
- 2
Все цифры числа должны быть нечётными и различными. Из перечисленных окончаний этим условиям удовлетворяет 375.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
224ФИПИ 5A0896№ 19Күрделі Найдите пятизначное натуральное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Составим число, в котором соседние цифры отличаются на 2: $8, 6, 8, 6, 8$.$$86868$$
- 2
Проверим делимость на 18. Последняя цифра числа чётная, поэтому число делится на 2.$$8 \vdots 2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
225ФИПИ 5A8350№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого использованы только две различные цифры. В ответе запишите…
- 1
Число должно давать остаток 2 при делении на 3, 4 и 5. Поэтому число, уменьшенное на 2, должно делиться на каждое из этих чисел.$$n - 2 \text{ делится на } 3,\ 4\ \text{и}\ 5$$
- 2
Число $662$ больше 500 и содержит только две различные цифры: 6 и 2.$$662 = 3 \cdot 220 + 2 = 4 \cdot 165 + 2 = 5 \cdot 132 + 2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
226ФИПИ 5A87DF№ 19Күрделі Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 6000, но меньшее 8000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число находится между 6000 и 8000, его первая цифра может быть 6 или 7. Все цифры должны строго убывать.
- 2
Для делимости на 18 число должно делиться на 2 и на 9. Поэтому последняя цифра должна быть чётной, а сумма всех цифр — кратной 9.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
227ФИПИ 5B7DE6№ 19Күрделі Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…
- 1
Число $105$ представлено в виде произведения различных простых чисел: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.$$p_1=3,\quad p_2=5,\quad p_3=7$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(3+1)(5+1)(7+1)=4\cdot6\cdot8$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
228ФИПИ 5BA905№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как остаток при делении на $3$, $5$ и $7$ равен $2$, число на $2$ больше числа, кратного каждому из этих делителей.$$n-2 \vdots 3,\ 5,\ 7$$
- 2
Наименьшее общее кратное чисел $3$, $5$ и $7$ равно $105$, поэтому число имеет вид:$$n=105k+2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
229ФИПИ 5BBB63№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр…
- 1
Проверим деление числа $243$ на $4$ и на $15$.$$243 = 4 \cdot 60 + 3;\quad 243 = 15 \cdot 16 + 3$$
- 2
Оба ненулевых остатка равны $3$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
230ФИПИ 5CFF94№ 19Күрделі Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…
- 1
Так как число $A$ состоит из цифр 2, 3, 7 и 8, переберём подходящие перестановки этих цифр, большие 2500, и проверим их удвоение.
- 2
Для числа $A = 2738$ получаем:$$2A = 2 \cdot 2738 = 5476$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
231ФИПИ 610C21№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на $12$; сумма цифр числа $A+6$ делится на $12$.
- 1
Рассмотрим число $A=699$. Его сумма цифр равна:$$6+9+9=24$$
- 2
Число $24$ делится на $12, поэтому первое условие выполнено.$$24:12=2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
232ФИПИ 6164C4№ 19Күрделі Вычеркните в числе 24665521 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Так как $22 = 2 \cdot 11$, получившееся число должно делиться и на 2, и на 11.
- 2
Вычеркнем из числа 24665521 цифры 5, 5 и 1. Оставшиеся цифры образуют число 24662.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
233ФИПИ 631193№ 19Күрделі Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа $110$, если…
- 1
Число $110$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $p_1=2$, $p_2=5$, $p_3=11$.$$110=2\cdot5\cdot11$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
234ФИПИ 6337C1№ 19Күрделі Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4266. В ответе укажите какое-нибудь одно…
- 1
Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$, $d$. Тогда оно равно $1000a+100b+10c+d$, а число, записанное в обратном порядке, равно $1000d+100c+10b+a$.$$1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=4266$$
- 2
Так как исходное число кратно 5, его последняя цифра должна быть $0$ или $5$. Возьмём $d=5$. Тогда нужно подобрать остальные цифры так, чтобы разность была равна 4266.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
235ФИПИ 6469FE№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 60, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число $120$ является трёхзначным, а все его цифры различны.
- 2
Проверим кратность числа $120$ числу $60$: $120=60\cdot2$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
236ФИПИ 662414№ 19Күрделі Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.
- 1
Число должно делиться на 12, то есть одновременно на 3 и на 4.
- 2
Вычеркнем из числа 35242345 цифры 2, 3 и 5, сохранив порядок остальных цифр. Получим число 35244.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
237ФИПИ 666C65№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра в записи которого является средним арифметическим двух…
- 1
Проверим число $564$: оно трёхзначное и больше $500$.
- 2
При делении на $8$ и на $5 получаем одинаковые ненулевые остатки:$$564 = 8 \cdot 70 + 4,\quad 564 = 5 \cdot 112 + 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
238ФИПИ 66EFA1№ 19Күрделі Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 55, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число кратно $55 = 5 \cdot 11$, оно должно делиться на $5$ и на $11$. Число чётное и кратно $5$, значит его последняя цифра равна $0$.$$a_4 = 0$$
- 2
Подберём четырёхзначное число, состоящее из различных чётных цифр и оканчивающееся на $0$: $2640$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
239ФИПИ 67EFA4№ 19Күрделі Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 4 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого больше 4.
- 1
Все цифры числа должны быть больше 4, поэтому можно рассматривать цифры 5, 6, 7, 8 и 9.
- 2
Число 565 при делении на 4 даёт остаток 1, так как последние две цифры образуют число 65:$$65 = 4 \cdot 16 + 1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
240ФИПИ 68286C№ 19Күрделі Найдите трёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 4; сумма цифр числа $A+2$ делится на 4; число $A$ больше 200 и меньше 400. В ответе запишите какое-нибудь…
- 1
Проверим число $A=299$, лежащее между 200 и 400.$$200<299<400$$
- 2
Сумма цифр числа $299$ равна 20, и это число делится на 4.$$2+9+9=20=4\cdot5$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде