Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Встреча автомобилей на трассе

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч…

1. 1
   За первые 3 часа первый автомобиль проехал:$$60 \cdot 3 = 180\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$470 - 180 = 290\ \text{км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 36 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 2 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   На подъём турист затратил $10-2=8$ часов. Пусть скорость на подъёме равна $x$ км/ч, тогда скорость на спуске равна $x+3$ км/ч.$$v_{\text{подъём}}=x,\quad v_{\text{спуск}}=x+3$$
2. 2
   Составим уравнение для общей длины дороги: путь на подъёме плюс путь на спуске равен 36 км.$$8x+2(x+3)=36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Задача о сплавах

Имеется два сплава. Первый содержит 30 % никеля, второй — 5 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса полученного сплава равна $35+x$ кг.$$x$$
2. 2
   Составим уравнение по массе никеля в сплавах:$$0{,}3 \cdot 35 + 0{,}05x = 0{,}1(35+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Встреча автомобилей на дороге

Расстояние между городами A и B равно 310 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч…

1. 1
   Обозначим через $t$ время движения первого автомобиля до встречи. Второй автомобиль выехал на час позже, поэтому он двигался $t - 1$ часов.$$t_2 = t - 1$$
2. 2
   До встречи автомобили вместе преодолели расстояние между городами.$$60t + 65(t - 1) = 310$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию составляем уравнение для набранных очков:$$9x - 17y = 153$$
2. 2
   Перенесём слагаемое и учтём, что $153 = 9 \cdot 17$:$$9(x - 17) = 17y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Производительность первого мастера равна $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{10}$ заказа в час.$$\frac{1}{40},\quad \frac{1}{10}$$
2. 2
   Найдём совместную производительность мастеров.$$\frac{1}{40}+\frac{1}{10}=\frac{1}{40}+\frac{4}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 12-процентного раствора вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Пусть смешали по $x$ единиц каждого раствора. Количество растворённого вещества равно $0{,}12x + 0{,}18x$, а общий объём раствора — $2x$.$$c = \frac{0{,}12x + 0{,}18x}{2x}$$
2. 2
   Вычисляем концентрацию получившегося раствора:$$c = \frac{0{,}30x}{2x} = 0{,}15 = 15\%$$

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 15 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…

1. 1
   Примем весь объём работы за 1. Производительность Сергея равна:$$\frac{1}{15}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$1{,}5 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{10},\quad 1{,}25 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{12}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40 % меди, второй — 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % меди. Масса первого сплава равна 20 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть $x$ кг — масса второго сплава. Тогда масса третьего сплава равна $(20+x)$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}4 \cdot 20 + 0{,}15x = 0{,}35(20+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Работа Юли за минуту

Юля и Уля пропалывают грядку за 48 минут, а одна Уля — за 80 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?

1. 1
   Примем всю грядку за 1. Совместная скорость работы Юли и Ули равна $\dfrac{1}{48}$ грядки в минуту, а скорость работы Ули — $\dfrac{1}{80}$ грядки в минуту.$$\dfrac{1}{48},\quad \dfrac{1}{80}$$
2. 2
   Найдём скорость работы Юли вычитанием:$$v_{\text{Юли}}=\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{80}=\dfrac{5-3}{240}=\dfrac{1}{120}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа Саши и Наташи

Саша и Наташа, работая вместе, пропалывают грядку за 34 минуты, а одна Наташа — за 51 минуту. За сколько минут пропалывает грядку одна Саша?

1. 1
   Производительность работы равна отношению объёма всей работы к времени. Примем объём грядки за 1.$$v_{\text{вместе}} = \dfrac{1}{34},\quad v_{\text{Наташи}} = \dfrac{1}{51}$$
2. 2
   Пусть Саша пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$.$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{51} = \dfrac{1}{34}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Масса третьего сплава

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 35 % меди, второй — 5 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Масса первого сплава равна 100 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(100+x)$ кг.$$m_3=100+x$$
2. 2
   Количество меди в первом и втором сплавах равно количеству меди в третьем сплаве.$$0{,}35\cdot100+0{,}05x=0{,}30(100+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 18 минут…

1. 1
   Пусть тест содержит $x$ вопросов. Петя выполняет его за $\dfrac{x}{20}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Переведём 18 минут в часы: $18 : 60 = 0{,}3$ часа. По условию разность времени выполнения равна $0{,}3$ часа.$$\dfrac{x}{20} - \dfrac{x}{24} = 0{,}3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встречное движение автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 790 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние $790 - 490 = 300$ км.$$s_2 = 790 - 490 = 300$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $300 : 75 = 4$ часа.$$t_2 = \dfrac{300}{75} = 4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 360 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 55 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки, находящейся в 250 км от города A:$$360 - 250 = 110\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$110 : 55 = 2\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Обозначим расстояние от начальной точки до места назначения через $S$. Путешественник проходит это расстояние дважды, поэтому весь путь равен $2S$.
2. 2
   Время движения туда на яхте равно $\dfrac{S}{20}$, а обратно на самолёте — $\dfrac{S}{380}$. Общее время: $\dfrac{S}{20} + \dfrac{S}{380}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 42 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минуты: $1$ час $45$ минут $=105$ минут.
2. 2
   Производительности насосов равны $\dfrac{1}{20}$, $\dfrac{1}{42}$ и $\dfrac{1}{105}$ бака в минуту.

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 380 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До встречи второй автомобиль проехал расстояние $380 - 220 = 160$ км.$$s_2 = 380 - 220 = 160$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $160 : 80 = 2$ часа. Первый автомобиль выехал на 2 часа раньше, поэтому он находился в пути 4 часа.$$t_1 = 2 + 2 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 18. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 45 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Петя выполняет тест за $\dfrac{x}{12}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{18}$ часа.$$\frac{x}{12},\quad \frac{x}{18}$$
2. 2
   Петя затратил на $45$ минут, или $\dfrac{3}{4}$ часа, больше времени, поэтому составим уравнение.$$\frac{x}{12}-\frac{x}{18}=\frac{3}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча на пути к лесу

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,3 км/ч, а второй — со скоростью 4,6 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Первый человек проходит расстояние $x$, поэтому время его движения равно:$$t_1=\dfrac{x}{2{,}3}$$
2. 2
   Второй человек проходит до опушки 4,5 км и возвращается до точки с координатой $x$. Его общий путь равен $4{,}5+(4{,}5-x)=9-x$ км.$$t_2=\dfrac{9-x}{4{,}6}$$

Ещё 2 шага — в полном решении