Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2448. В ответе укажите какое-нибудь одно…
- 1
Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$, $d$. Так как оно кратно 5, последняя цифра равна $0$ или $5$. Рассмотрим число $7505$.
- 2
При записи цифр в обратном порядке получаем второе четырёхзначное число $5057$.$$7505 \longrightarrow 5057$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите семизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Разложим делитель:$$72 = 8 \cdot 9$$
- 2
Рассмотрим число $1112112$. Сумма его цифр равна $9$, поэтому число делится на $9.$$1+1+1+2+1+1+2=9$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите пятизначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как $22=2\cdot 11$, число должно быть чётным и делиться на $11$.
- 2
Выберем чередующиеся цифры $6$ и $9$: каждая пара соседних цифр отличается на $3$. Получаем пятизначное число $69696$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 6 и делится на 90. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как $90 = 9 \cdot 10$, число должно делиться одновременно на 9 и на 10.
- 2
Для делимости на 10 последняя цифра должна быть равна 0. Выберем число $606060$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа $195$, если…
- 1
Число $195$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $3$, $5$ и $13$.$$195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению увеличенных на единицу простых множителей.$$(3 + 1)(5 + 1)(13 + 1)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его…
- 1
Пусть цифры трёхзначного числа — $a$, $b$, $c$. По условию средняя цифра является средним арифметическим двух других:$$b=\frac{a+c}{2},\quad 2b=a+c$$
- 2
Рассмотрим число $543$. Его средняя цифра $4$ является средним арифметическим цифр $5$ и $3$:$$4=\frac{5+3}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95.
- 1
Число, кратное $75$, должно одновременно делиться на $3$ и на $25$. Поэтому его последние две цифры — $00$, $25$, $50$ или $75$, а сумма цифр делится на $3$.$$75 = 3 \cdot 25$$
- 2
Проверяем пятизначные числа, начиная с наибольших, с допустимыми окончаниями и произведением цифр от $86$ до $94$. Наибольшим подходящим числом оказывается $91125$.$$9 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 90$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…
- 1
Число $186$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=31$.$$186=2\cdot3\cdot31$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(31+1)=3\cdot4\cdot32=384$$
Найдите пятизначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Разложим число 40 на произведение пяти цифр. Подходит набор цифр $2, 2, 5, 1, 2$.
- 2
Составим из этих цифр число $22512$. Произведение его цифр равно 40:$$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 = 40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вычеркните в числе 87451257 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Число, делящееся на 15, должно одновременно делиться на 3 и на 5.
- 2
Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5. Выберем последнюю цифру 5.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Разложим 22 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$. Поэтому искомое число должно делиться и на 2, и на 11.
- 2
Рассмотрим число 6512. Произведение его цифр равно требуемому значению:$$6 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 = 60$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число должно делиться на 12, то есть одновременно делиться на 3 и на 4.
- 2
Оставим в исходном числе цифры 7, 5, 1, 5 и 6, вычеркнув последние 7, 1 и 3 из последовательности 75157613.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.
- 1
Наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, — $999$.$$999 = 37 \cdot 27$$
- 2
Число $999$ делится на $37$ без остатка, следовательно, оно удовлетворяет условию.$$999 \div 37 = 27$$
Вычеркните в числе 58918749 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число должно делиться на 18, то есть одновременно делиться на 2 и на 9.$$18 = 2 \cdot 9$$
- 2
Выберем из исходного числа цифры 5, 8, 9, 1 и 4. Они идут в исходном порядке, поэтому после вычёркивания трёх цифр получится число 58914.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его…
- 1
Ищем число, начинающееся с цифры 4, поскольку оно трёхзначное и больше 400. Для цифр $4$, $b$, $c$ условие среднего арифметического имеет вид:$$4 = \dfrac{b+c}{2},\quad b+c=8$$
- 2
Выбираем цифры $b=5$ и $c=3$. Получаем число $453$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…
- 1
Число $A$ должно быть составлено из цифр 2, 4, 7, 9, причём $A > 2500$. Перебираем подходящие перестановки и удваиваем их.
- 2
Для числа $A = 2749$ получаем:$$2749 \cdot 2 = 5498$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим число 5575 на множители:$$5575 = 25 \cdot 223 = 5 \cdot 5 \cdot 223$$
- 2
Множители можно получить объединением подряд идущих отметок: это наборы отметок $2,2,3,2,5$ или $5,5,2,2,3$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим произведение на множители, записанные последовательностью цифр отметок. Получаем:$$1398 = 2 \cdot 3 \cdot 233$$
- 2
Следовательно, пять отметок имеют вид $2, 3, 2, 3, 3$, поскольку число $233$ состоит из трёх допустимых цифр.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть 5.
- 2
Рассмотрим число 1245. Сумма его цифр равна 12, поэтому число делится на 3, а последняя цифра 5 означает, что оно делится на 5. Следовательно, число кратно 15.$$1+2+4+5=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вычеркните в числе 30239545 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Так как $22 = 2 \cdot 11$, получившееся число должно делиться на 2 и на 11.
- 2
Вычёркиваем из числа 30239545 цифры 3, 5 и 5. Оставшиеся цифры образуют число 30294.
Ещё 2 шага — в полном решении