Задание 19 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Трёхзначное число кратное 70

Найдите трёхзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 20. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $210$. Оно является трёхзначным, и все его цифры различны.
2. 2
   Проверим кратность числа $70$:$$210 = 70 \cdot 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число по свойствам

Найдите трёхзначное натуральное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 8; сумма цифр числа $A+1$ делится на 8; в числе $A$ сумма крайних цифр кратна средней цифре.

1. 1
   Обозначим цифры трёхзначного числа $A$ через $a$, $b$, $c$. Если $c\ne9$, то при прибавлении 1 сумма цифр увеличивается на 1. Две такие суммы не могут одновременно делиться на 8, поэтому $c=9$.
2. 2
   При $c=9$ и $b\ne9$ сумма цифр числа $A$ равна $a+b+9$, а сумма цифр числа $A+1$ равна $a+b+1$. Условия делимости на 8 дают $a+b+1\equiv0\pmod 8$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число по цифрам

Найдите чётное трёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Подберём чётное трёхзначное число, то есть число с последней чётной цифрой. Рассмотрим число $124$.
2. 2
   Найдём сумму его цифр.$$1+2+4=7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с делимой суммой цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 10; сумма цифр числа $A + 8$ делится на 10.

1. 1
   Рассмотрим число $A = 893$. Сумма его цифр равна:$$8 + 9 + 3 = 20$$
2. 2
   Число 20 делится на 10, поэтому первое свойство выполнено.

Ещё 2 шага — в полном решении

Партии в настольный теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий…

1. 1
   При смене игроков после каждой партии число партий, сыгранных третьим игроком, равно разности между числами партий двух других игроков.$$L = K - M$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$L = 27 - 13 = 14$$

Четырёхзначное число с цифрами

Найдите четырёхзначное число, большее 7000, но меньшее 9000, которое делится на 50 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, делящееся на 50, должно оканчиваться на 00 или 50. Так как каждая следующая цифра должна быть меньше предыдущей, окончание 00 невозможно, поэтому последние цифры — 50.
2. 2
   Число больше 7000 и меньше 9000, значит первая цифра может быть 7 или 8. Для окончания 50 цифра сотен должна быть больше 5, а первая цифра — больше цифры сотен.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число из цифр 1 и 6

Найдите шестизначное натуральное число, которое делится на 24 и записывается только цифрами 1 и 6. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число делится на $24$, если оно делится одновременно на $3$ и на $8.
2. 2
   Проверим число $161616$ на делимость на $3$: сумма его цифр равна $21$, а $21$ делится на $3$.$$1+6+1+6+1+6=21=3\cdot7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число с равными значениями

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 5, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно быть кратно 5, поэтому его последняя цифра может быть $0$ или $5$. Выберем последнюю цифру $5$.
2. 2
   Рассмотрим число $21115$. Оно является пятизначным и оканчивается цифрой $5$, значит, кратно $5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и удвоение

Четырёхзначное число $A$ составлено из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$, большее 3500.

1. 1
   Так как $A > 3500$, его первая цифра может быть только 3 или 4. При умножении на 2 число $A$ должно дать число $B$, составленное из цифр 6, 7, 8, 9.
2. 2
   Перебирая перестановки цифр 3, 4, 8, 9 и учитывая переносы при умножении на 2, получаем подходящий вариант $A = 4398$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Розы в белой вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, жёлтая и оранжевая. Слева от жёлтой вазы 22 розы, справа от оранжевой вазы 23 розы. Всего в вазах 35 роз. Сколько роз в белой вазе?

1. 1
   Из условий следует, что белая ваза входит и в число ваз слева от жёлтой, и в число ваз справа от оранжевой.
2. 2
   При сложении 22 и 23 розы розы в белой вазе учитываются дважды, а остальные розы — по одному разу. Поэтому из суммы нужно вычесть общее количество роз.$$22 + 23 - 35 = 10$$

Выпавшие страницы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 476, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Переставим цифры числа 476. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 476, а число выпавших страниц — чётным. Подходит число 647.
2. 2
   Выпавшие страницы начинаются с 477 и заканчиваются страницей 646, так как следующая страница имеет номер 647.$$646 - 477 + 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие страницы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 254, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Переставляем цифры числа 254. Число после выпавших страниц должно быть больше 254. Из возможных перестановок подходит число 425: разность с 254 даёт нечётное число, поэтому между ними будет чётное количество страниц.$$425 - 254 = 171$$
2. 2
   Страницы от 255 до 424 включительно выпали. Их количество равно:$$425 - 254 - 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15.

1. 1
   Делимость на 15 означает одновременную делимость на 3 и на 5.
2. 2
   Выберем из исходного числа цифры 5, 3, 6, 4, 0, сохранив их порядок. Получаем число 53640.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число из цифр 2 и 0

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Проверим число $222000$: оно является шестизначным и записывается только цифрами $2$ и $0.
2. 2
   Сумма цифр числа равна $2+2+2+0+0+0=6$, поэтому число делится на $3$.$$2+2+2+0+0+0=6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число 7845 на множители так, чтобы запись множителей содержала ровно пять цифр-отметок от 2 до 5:$$7845 = 3 \cdot 5 \cdot 523$$
2. 2
   Следовательно, отметки Пети: $3$, $5$, $5$, $2$, $3$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт правильных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geq 1$.$$9x - 13y = 225$$
2. 2
   Выразим количество правильных ответов:$$x = \frac{225+13y}{9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2628. В ответе укажите какое-нибудь одно…

1. 1
   Проверим число, кратное 5 и состоящее из четырёх цифр: $7705$. После записи цифр в обратном порядке получаем число $5077$.$$7705 \rightarrow 5077$$
2. 2
   Вычтем второе число из исходного.$$7705-5077=2628$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Делимость числа на 15

Вычеркните в числе 45278351 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. Запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5.
2. 2
   Оставим из числа 45278351 цифры 4, 7, 8, 3, 5, вычеркнув цифры 5, 2 и 1. Получаем число 47835.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Итоговая отметка Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на множители:$$3530=2\cdot5\cdot353$$
2. 2
   Множитель $353$ может быть получен объединением трёх последовательных отметок 3, 5 и 3. Оставшиеся множители 2 и 5 являются отдельными отметками. Поэтому набор отметок: 3, 5, 3, 2, 5.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма делителей числа 182

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1 + 1)(p_2 + 1)(p_3 + 1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $182$ представлено как произведение трёх различных простых чисел: $2$, $7$ и $13$.$$182 = 2 \cdot 7 \cdot 13$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2 + 1)(7 + 1)(13 + 1)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении