Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac12=5$$
- 2
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{5+13}{2}\cdot5=9\cdot5=45$$
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{7}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Найдём градусную меру дуги, составляющей $\dfrac{7}{36}$ длины окружности.$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{7}{36}=70^\circ$$
- 2
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{70^\circ}{2}=35^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = 2\sqrt{6}$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$$
- 2
Следовательно, $BC = 1$. Для угла $B$ катет $BC$ является прилежащим катетом.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{5}$$
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 8$, $AC = BD = 17$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
Так как диагонали параллелограмма равны, данный параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
- 2
По теореме Пифагора найдём вторую сторону прямоугольника.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $162^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$$
- 2
Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $A$ и $B$ равны.$$A = B = 18^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $15$, $\tg \angle CAD = 0{,}5$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 15$.$$CD = AB = 15$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = 0{,}5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований трапеции равна 48. В равнобедренной трапеции на каждую боковую сторону приходится половина этой разности:$$x=\dfrac{104-56}{2}=24$$
- 2
Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 30:$$h=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{900-576}=18$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 54^\circ$, $\angle 2 = 100^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между второй секущей и горизонтальным направлением равен$$180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$
- 2
Угол между первой секущей и параллельными прямыми равен $\angle 1 = 54^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 2$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Расположим основание $AC$ на координатной оси: $A=(0,0)$, $C=(2,0)$. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой $AC$, поэтому $M=(1,0)$.
- 2
Поскольку $BH$ — высота, точка $H$ имеет ту же абсциссу, что и точка $B$. Обозначим $H=(x,0)$ и $B=(x,y)$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $8$. Найдите периметр ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $120^\circ$, это равные острые углы:$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами ромба треугольник, в котором угол между сторонами равен $60^\circ$, поэтому треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали:$$a = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $ADI$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного десятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Дуга $AI$, не содержащая вершину $D$, проходит через вершину $J$ и состоит из двух таких дуг:$$\widehat{AI}=2\cdot36^\circ=72^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $36$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются противоположными и каждый равен $120^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ$$
- 2
Соседний угол ромба равен $60^\circ$.$$\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 20. Найдите меньшую диагональ ромба.
- 1
Найдём сторону ромба по периметру:$$a = \dfrac{20}{4} = 5$$
- 2
Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $56$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 24$, $\sin A = \dfrac{4}{7}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол $C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $AB$ относится к синусу угла $C$, а сторона $BC$ — к синусу угла $A$.$$\dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{BC}{\sin A}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 34$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Найдём угол $A$ треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 15$. Найдите $BC$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 5$, $\sin A = 0{,}6$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
По определению синуса угла $A$ в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$:$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{0{,}6} = \frac{25}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 22^\circ$, угол $2 = 72^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Рассмотрим треугольник, расположенный между прямыми $m$ и $n$. Так как $m \parallel n$, угол при его левом основании равен углу $1$ как соответственный.$$\alpha = 22^\circ$$
- 2
Угол при правом основании треугольника равен углу $2$ и составляет $72^\circ$.$$\beta = 72^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — это сторона $AB$. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB\cdot\sin A = 4\sqrt{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} = 2\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении