На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 120^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $20$. Найдите длину большей дуги.
- 1
Меньшей дуге соответствует центральный угол $120^\circ$, поэтому большая дуга соответствует углу $240^\circ$.$$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$$
- 2
Длина большей дуги относится к длине меньшей как соответствующие центральные углы:$$\dfrac{l_{\text{больш}}}{20} = \dfrac{240}{120}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $\sin A = \dfrac{24}{25}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $A$ противолежащий катет — $BC$.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину катета $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 50 \cdot \dfrac{24}{25} = 48$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 52^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
- 2
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ$$
Найдите площадь ромба, если его высота равна 6, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1/2} = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиуса 6 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2R = 2 \cdot 6 = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 58$, $\sin A = \dfrac{20}{29}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому $BC = AB = 58$.$$BC = AB = 58$$
- 2
Найдём косинус угла $A$. Угол $A$ острый, поэтому берём положительное значение.$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{20}{29}\right)^2} = \dfrac{21}{29}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите $BK$, если $BD = 21$.
- 1
Пусть начало координат находится в точке $A$, а векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ равны соответственно $\mathbf b$ и $\mathbf d$. Тогда $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$, а так как $M$ — середина $BC$, то…$$M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$$
- 2
Точка $K$ лежит на $AM$, поэтому её можно записать в виде $K=t\left(\mathbf b+\dfrac12\mathbf d\right)$. Также $K$ лежит на $BD$, поэтому $K=(1-s)\mathbf b+s\mathbf d$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите площадь ромба, если его высота равна 22, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{22}{1/2} = 44$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 8$, $\sin A = \dfrac{1}{4}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен:$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $AB$, лежащая напротив угла $C$, связана со стороной $BC$, лежащей напротив угла $A$:$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $25$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол составляют развернутый угол:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $143^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠B = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$$
- 2
Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $∠A = ∠B = 37^\circ$.$$∠A = ∠B$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике одна из сторон равна 16, а диагональ равна 34. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$$
- 2
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.$$S = 16 \cdot 30 = 480$$
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 4, а другое — 8. Высота трапеции равна 5. Найдите тангенс острого угла трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми сторонами. Найдём горизонтальную проекцию боковой стороны:$$x = \frac{8 - 4}{2} = 2$$
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и боковой стороной трапеции, тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan \alpha = \frac{5}{2} = 2{,}5$$
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 16$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Катет $AC$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому применяем определение косинуса.$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 12$, $\sin A = \frac{2}{3}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол $C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $AB$ относится к синусу угла $C$ так же, как сторона $BC$ — к синусу угла $A$.$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$, $AC = 10$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому высота, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам: $AH = HC = 5$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 5$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $AC = 48$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{196} = 14$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 4$, а периметр параллелограмма равен 20.
- 1
Из формулы периметра параллелограмма найдём длину стороны $BC$:$$2(AB+BC)=20$$
- 2
Подставим $AB=4$:$$2(4+BC)=20,\quad BC=6$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $48$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{6}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{5}{6}$$
- 2
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD = BC = 48$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 48 \cdot \dfrac{5}{6} = 40$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 80$, сторона $AB = 41$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Так как $ABCD$ — ромб, его стороны равны: $AB = BC = 41$. Поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB = BC = 41$$
- 2
Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит диагональ пополам.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 40$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде