Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $160$, сторона $AB = 4$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{160}{4} = 40$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет $CD$ равен $AB = 4$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{4}{40} = 0{,}1$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $26$, а $\tg A = 1{,}3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{26}{1{,}3} = 20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 16$, $\sin A = \dfrac{2}{5}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.
- 1
Внутренний угол треугольника при вершине $C$ является смежным с внешним углом:$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $AB$ противоположна углу $C$, а сторона $BC$ — углу $A$:$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 72$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы при $A$ и $C$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Биссектриса $BK$ из вершины равнобедренного треугольника является также высотой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = 1{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}$$
- 2
Найдём длину половины основания:$$AM=\dfrac{BM}{\tg A}=\dfrac{9}{1{,}5}=6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 7 и 13, боковая сторона, равная 2, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Острый угол между боковой стороной и основанием равен $180^\circ-150^\circ=30^\circ$.$$30^\circ$$
- 2
Высота трапеции — это проекция боковой стороны на перпендикуляр к основанию.$$h=2\sin 30^\circ=1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 95$, $AC = 114$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{114}{2} = 57$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{95^2 - 57^2} = \sqrt{5776} = 76$$
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{18}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{1}{18}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{18} = 20^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{20^\circ}{2} = 10^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 19. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, причём $\angle C=30^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $76^\circ$, угол $ABC$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $BAC$ в треугольнике $ABC$ равен:$$\angle BAC=180^\circ-47^\circ-x=133^\circ-x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $BAC$:$$\angle CAL=\frac{133^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 22 \cdot 33$$
- 2
Через большую сторону и искомую высоту площадь равна:$$S = 44h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{7}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 2. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{1}{2}AC$$
- 2
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Их площади относятся как произведения двух сторон, прилежащих к этому углу.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AM \cdot AK}{AC \cdot AB}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сторона ромба 25, одна из диагоналей равна 40. Найдите площадь ромба.
- 1
Половина известной диагонали равна $40:2=20$. Вместе с половиной второй диагонали и стороной ромба она образует прямоугольный треугольник.$$25^2=20^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2$$
- 2
Находим половину второй диагонали:$$\dfrac{d_2}{2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 78^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle CMB = 2\angle DMC$$
- 2
Вычислим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 20$, боковая сторона $BC = 29$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
- 1
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
- 2
Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 12$, $AC = BD = 15$. Найдите площадь параллелограмма.
- 1
В параллелограмме равные диагонали, поэтому он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD \text{ — прямоугольник}$$
- 2
Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK=\dfrac{1}{3}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$: $AM=\dfrac{1}{2}AC$.$$AM=\dfrac{1}{2}AC$$
- 2
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $A$. Их площади относятся как произведения двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM\cdot AK}{AC\cdot AB}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 84. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
У ромба четыре равные стороны, поэтому длина стороны равна:$$a=\frac{84}{4}=21$$
- 2
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, следовательно, это сумма двух равных острых углов, каждый из которых равен $60^\circ$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 9$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $152^\circ$, угол $ABC$ равен $137^\circ$. Найдите величину угла $ACB$.
- 1
Обозначим искомый угол $\angle ACB$ через $x$. Поскольку точка $L$ лежит на стороне $BC$, угол $ACL$ равен $x$.$$\angle ACL=x$$
- 2
Найдём угол $A$ треугольника $ABC$ и половину этого угла, равную углу $CAL$.$$\angle A=180^\circ-137^\circ-x=43^\circ-x,\quad \angle CAL=\frac{43^\circ-x}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении