$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $EFG$. Ответ дайте в градусах.
- 1
У правильного восьмиугольника все внутренние углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого восьмиугольника равна:$$(8-2)\cdot 180^\circ=1080^\circ$$
- 2
Делим сумму на количество углов:$$\angle EFG=\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 40, площадь треугольника равна 420. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
- 2
Найдём высоту треугольника из формулы площади.$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BK,\quad BK = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 420}{40} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$, $AC = 18$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 9$$
- 2
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 140, сторона $AB = 7$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Найдём длину стороны $AD$ из формулы площади прямоугольника.$$AD = \dfrac{140}{7} = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $CD = AB = 7$ и $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{20}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 160, сторона $AB = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{160}{8} = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий катет к углу $CAD$ равен $CD = AB = 8$, а прилежащий катет равен $AD = 20$.$$\tan\angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{8}{20} = 0,4$$
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 100 см, а высота экрана 60 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
- 1
Диагональ, высота и ширина экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$d^2 = h^2 + w^2$$
- 2
Выразим ширину экрана и подставим значения:$$w = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{100^2 - 60^2} = \sqrt{10000 - 3600} = \sqrt{6400} = 80$$
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 68^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Положим $AB=CD=1$, тогда $AC=2$. Выберем координаты $A=(0,0)$ и $C=(2,0)$. Так как луч $CD$ образует с лучом $CA$ угол $68^\circ$, координаты точки $D$ имеют вид$$D=(2-\cos 68^\circ,\,-\sin 68^\circ)$$
- 2
В параллелограмме $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, поэтому координаты точки $B$ равны$$B=C-D=(\cos 68^\circ,\,\sin 68^\circ)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=10:11$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные из условия:$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{11}=\frac{5}{11}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 48$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы $A$ и $C$ равны, то $AB = BC$, и треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$ является медианой и высотой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольного треугольника равна 180. Один из катетов равен 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 180}{40} = 9$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1681} = 41$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 39$, $\sin A = \dfrac{12}{13}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как угол $A$ острый, по основному тригонометрическому тождеству:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$$
- 2
Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, равна:$$h = AB \cdot \sin A = 39 \cdot \frac{12}{13} = 36$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Найдём основание треугольника по теореме косинусов.$$AC^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 1200$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $136^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BD$ — диаметр, дуга $BAD$ является полуокружностью и имеет величину $180^\circ$.$$\overset{\frown}{BAD}=180^\circ$$
- 2
Центральный угол $AOD$ равен величине дуги $AD$, поэтому дуга $AD$ равна $136^\circ$.$$\overset{\frown}{AD}=136^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{9}{16}$, $BC = 32$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащим катетом, а $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 32 \cdot \dfrac{9}{16} = 18$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 82$, $\sin A = \dfrac{9}{41}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
По основному тригонометрическому тождеству найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = \frac{40}{41}$$
- 2
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам. Поэтому:$$AC = 2AB\cos A = 2\cdot 82\cdot\frac{40}{41} = 160$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = 0{,}6$, $BC = 20$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.
- 2
По определению тангенса угла $B$ найдём катет $AC$:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC},\quad AC = 0{,}6 \cdot 20 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{11}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий дуге длиной $\dfrac{11}{36}$ длины окружности, составляет такую же долю полного угла:$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{11}{36}=110^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше центрального:$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{110^\circ}{2}=55^\circ$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $AB = 9$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{300}{9} = \frac{100}{3}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 9$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{100/3} = \frac{27}{100}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 50$, $AC = 28$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны, то есть параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $28 : 2 = 14$. По теореме Пифагора для половин диагоналей и стороны ромба:$$50^2 = 14^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 96$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 14. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $AK = KC = 96 : 2 = 48$.$$AK = KC = 48$$
- 2
Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём боковую сторону.$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2500} = 50$$
Ещё 1 шаг — в полном решении