Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 7, а объём параллелепипеда равен 420. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{420}{10 \cdot 7} = 6$$
- 2
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(10 \cdot 7 + 10 \cdot 6 + 7 \cdot 6) = 2(70 + 60 + 42) = 344$$
К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося…
- 1
Правильная треугольная призма имеет два треугольных основания и три боковые грани, всего 5 граней.$$2 + 3 = 5$$
- 2
Правильная треугольная пирамида имеет одно треугольное основание и три боковые грани, всего 4 грани.$$1 + 3 = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы, а объёмы шаров — как кубы диаметров.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
- 2
Подставим известные значения:$$m_2=48\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=48\cdot\dfrac{27}{8}=162$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания пирамиды — площадь равностороннего треугольника со стороной 5.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки меньше объёма первой?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Первая кружка выше второй в $4{,}5$ раза, а радиус второй кружки в $1{,}5$ раза больше радиуса первой. Поэтому:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{h_1}{h_2} \cdot \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 = 4{,}5 \cdot \left(\dfrac{1}{1{,}5}\right)^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
- 2
Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 60$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Обозначим новый уровень воды через $H$.$$V_1 = V_2$$
- 2
Приравняем объёмы воды в двух цилиндрах. Радиус второго сосуда равен $2r$.$$\pi r^2 \cdot 60 = \pi (2r)^2 \cdot H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный сосуду. Все линейные размеры малого конуса в 5 раз меньше соответствующих размеров сосуда.$$k = \dfrac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза больше…
- 1
Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Пусть радиус нового сосуда равен $R = 1{,}5r$, а уровень воды в нём — $H$. Приравняем объёмы воды:$$\pi r^2 \cdot 90 = \pi (1{,}5r)^2 \cdot H$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у…
- 1
Правильная шестиугольная призма имеет 6 боковых граней и 2 шестиугольных основания.
- 2
Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 треугольных боковых граней и 1 шестиугольное основание.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{34}$.
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=6^2=36$$
- 2
Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 160$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании. Для призмы объём равен произведению площади основания на высоту.$$V = S h$$
- 2
Основание сосуда имеет форму квадрата. При увеличении его стороны в 2 раза площадь основания увеличивается в $4$ раза.$$S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника. Все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Рассмотрим деталь как прямоугольный параллелепипед размерами $4$ см, $5$ см и $1$ см, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед размерами $2$ см, $2$ см и $1$ см.$$V = V_{\text{большого}} - V_{\text{выреза}}$$
- 2
Вычислим объём большого параллелепипеда.$$V_{\text{большого}} = 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает конус, подобный всему сосуду, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ по линейным размерам.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём малого конуса составляет куб коэффициента подобия от объёма полного конуса.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}V_{\text{сосуда}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{67}$.
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S = 6^2 = 36$$
- 2
Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…
- 1
Пусть сторона основания первого сосуда равна $a$. Тогда площадь его квадратного основания равна:$$S_1 = a^2$$
- 2
Сторона основания второго сосуда равна $\frac{a}{3}$, поэтому площадь его основания:$$S_2 = \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка вчетверо выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…
- 1
Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $4a$, а её высота — $h/4$.$$V_1=a^2h,\quad V_2=(4a)^2\cdot\frac{h}{4}$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой:$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{(4a)^2\cdot\frac{h}{4}}{a^2h}=\frac{16}{4}=4$$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5, а объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$1 \cdot 5 \cdot c = 30$$
- 2
Находим длину третьего ребра:$$c = \frac{30}{1 \cdot 5} = 6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занятый водой вместе с деталью, стал равен:$$2{,}4 \cdot 5 = 12\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности нового объёма и первоначального объёма воды:$$V_{\text{дет}} = 12 - 5 = 7\ \text{л}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает конус, подобный исходному.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}$$
- 2
Точка делит высоту в отношении $1:3$ от вершины, поэтому высота малого конуса составляет одну четверть высоты исходного.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac14$$
Ещё 2 шага — в полном решении