По данным графика из общего материала определите, на сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
- 1
По графику определяем: в июле трафик мобильного интернета составил 2 ГБ, а в августе — 3 ГБ.$$V_{\text{июль}}=2,\quad V_{\text{август}}=3$$
- 2
Находим, какую долю от июльского значения составляет увеличение трафика:$$\dfrac{3-2}{2}=\dfrac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 19$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $95^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
- 2
Вписанный угол $\angle ABC=95^\circ$ опирается на дугу $ADC$, поэтому эта дуга равна $190^\circ$. Так как дуга $AD$ по полуокружности равна $180^\circ$, дуга $DC$ равна $10^\circ$.
Ещё 4 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 12$, $AC = 72$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…
- 1
Разместим начало координат в точке $A$, а положительное направление оси $Ox$ выберем вдоль луча $AO$. Пусть $AO = R$. Тогда уравнение окружности, проходящей через $A$ и имеющей центр $O(R,0)$, имеет вид:$$x^2+y^2=2Rx$$
- 2
Пусть координаты точки $B$ равны $(x_B,y_B)$. Так как $B$ лежит на окружности, а $AB=12$, получаем:$$x_B^2+y_B^2=AB^2=144=2Rx_B$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 15$, $AC = 25$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…
- 1
Обозначим радиус описанной окружности через $R$, то есть $AO = R$. Введём направление вдоль прямой $AO$ и рассмотрим проекции отрезков $AB$ и $AC$ на эту прямую.
- 2
Пусть проекция точки $B$ на направление $AO$ равна $x_B$. Так как $B$ лежит на окружности с центром $O$, из равенства расстояний $AO = BO = R$ получаем:$$AB^2 = 2R x_B$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 3$, $AC = 9$.
- 1
Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $r$. Поскольку окружность проходит через точку $C$, имеем $OC = r$. Центр $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $AO + OC = AC$.
- 2
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 14$, $AC = 98$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…
- 1
Обозначим радиус описанной окружности через $R$. Выберем направление $AO$ за ось проекций. Для любой точки $X$ описанной окружности из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $OX$ и проекцией хорды $AX$, получаем: проекция…$$\operatorname{pr}_{AO} AX = \frac{AX^2}{2R}$$
- 2
Так как $BD \perp AO$, прямая $BD$ является линией уровня проекций на $AO$. Следовательно, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, её проекция равна $\dfrac{AD}{AC}$ от проекции…$$\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AC^2}{2R}=\frac{AB^2}{2R}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 16 и 12.
- 1
Проведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $12$.$$\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=16^2+12^2=256+144=400,\quad R=20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о…
- 1
Найдём разницу в стоимости покупки и установки систем отопления:$$(22000+20105)-(19000+16000)=7105\text{ руб.}$$
- 2
Стоимость работы газового отопления за один час составляет:$$1{,}5\cdot4{,}9=7{,}35\text{ руб.}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Используя данные плана сельской местности и общего текста, определите, сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут через Егорку и Жилино мимо конюшни.
- 1
По плану определяем длины трёх участков выбранного маршрута: по шоссе от Антоновки до Егорки, по просёлочной дороге от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.
- 2
Вычисляем время движения на каждом участке по формуле $t = \dfrac{s}{v}$: для участков по шоссе используем скорость $50$ км/ч, для просёлочного участка — $30$ км/ч.
Ещё 2 шага — в полном решении
Используя план из общего материала, определите, сколько километров проедут Серёжа с папой от деревни Пирожки до села Княжеское, если они поедут по шоссе через деревню Рябиновка?
- 1
По плану подсчитываем длину маршрута по шоссе от Пирожков до Рябиновки и от Рябиновки до Княжеского. Всего маршрут составляет 23 клеточных отрезка.$$n = 23$$
- 2
Длина стороны каждой клетки равна 2 км, поэтому длина маршрута равна:$$23 \cdot 2 = 46\ \text{км}$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 60^2 + 80^2$$
- 2
Находим гипотенузу.$$c = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100$$
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в…
- 1
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $4$ м и знаменателем $\dfrac{1}{2}$.$$h_n=4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
- 2
Переведём высоту $20$ см в метры: $20$ см $=0{,}2$ м. Найдём высоты пятого и шестого прыжков.$$h_5=4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=0{,}25\text{ м},\quad h_6=4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=0{,}125\text{ м}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8…
- 1
Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$ м и разностью $d = 0{,}2$ м.$$a_1 = 1,\quad d = 0{,}2,\quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму первых восьми членов прогрессии.$$S_8 = \frac{8\bigl(2 \cdot 1 + (8-1) \cdot 0{,}2\bigr)}{2} = 4 \cdot 3{,}4 = 13{,}6$$
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…
- 1
Расстояния, пройденные за секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 20$ м и разностью $d = -4$ м.
- 2
До полной остановки автомобиль проедет за секунды расстояния $20$, $16$, $12$, $8$ и $4$ м. Следующий член равен нулю, поэтому ненулевых членов пять.$$a_5 = 20 + 4 \cdot (-4) = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7…
- 1
Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, разностью $d = 0{,}4$ и числом членов $n = 7$.$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
- 2
Найдём расстояние, пройденное за седьмую секунду.$$a_7 = 1 + (7 - 1) \cdot 0{,}4 = 3{,}4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
- 1
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность:$$a_7-a_3=4d$$
- 2
Подставим известные значения и найдём $d$:$$38-26=4d,\quad d=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Используя план из общего материала, определите, сколько километров проедут Полина с дедушкой от деревни Камышёвка до села Майское, если поедут по шоссе через деревню Хомяково.
- 1
По плану длина маршрута по шоссе через Хомяково составляет 17 сторон клеток.$$17$$
- 2
Длина стороны каждой клетки равна 2 км, поэтому находим длину всего маршрута:$$17 \cdot 2 = 34$$
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…
- 1
Определим число двадцатиминутных промежутков за 60 минут:$$n = \frac{60}{20} = 3$$
- 2
Каждые 20 минут масса умножается на 3, поэтому через 60 минут она составит:$$m = 17 \cdot 3^3 = 17 \cdot 27 = 459\text{ мг}$$
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…
- 1
Определим количество двадцатиминутных интервалов за 60 минут.$$n = \dfrac{60}{20} = 3$$
- 2
За каждый интервал масса умножается на 3, поэтому найдём массу после трёх увеличений.$$m = 16 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432$$
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $A$, если $AB = BC$ и $\angle ABC = 80^\circ$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C$.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении