Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Меньший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $96^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим второй угол параллелограмма:$$\beta = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $52^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседний угол ромба supplementary с острым углом:$$\beta = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам, поэтому искомый угол равен:$$\alpha = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Пусть $\alpha$ — угол при большем основании, а $x$ — угол между диагональю и большим основанием. Так как трапеция равнобедренная, угол между боковой стороной и диагональю у большего основания равен $\alpha-x$.$$\alpha-x=25^\circ$$
2. 2
   Угол между диагональю и другой боковой стороной равен $67^\circ$. С учётом параллельности оснований получаем:$$180^\circ-\alpha-x=67^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол ромба по перпендикуляру

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $32^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Перпендикуляр образует с диагональю угол $32^\circ$. Поэтому угол между стороной ромба и этой диагональю равен$$90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, поэтому тупой угол ромба равен$$2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 38, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и угол между сторонами:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим значения стороны и угла:$$h = 38\sin150^\circ = 38\cdot\frac{1}{2}=19$$

Больший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $41^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны, поэтому угол $CDA$ равен углу $ABC$.$$\angle CDA = \angle ABC = 40^\circ$$
2. 2
   Смежные углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому угол $DAB$ равен:$$\angle DAB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Тупой угол ромба является смежным с острым углом.$$\alpha = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам.$$\beta = \dfrac{102^\circ}{2} = 51^\circ$$

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 5 и 11, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \frac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований:$$m = \frac{5+11}{2} = 8$$

Больший угол ромба

Один из углов ромба равен $43^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его соседних углов равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим больший угол ромба:$$\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $24^\circ$ и $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Обозначим угол при большем основании через $x$. Так как трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании равны $180^\circ-x$.
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и боковыми сторонами. Его углы выражаются через $x$: $24^\circ$, $78^\circ$ и угол при основании, равный $180^\circ-x-78^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Больший угол трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $51^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два других угла, прилежащих к наклонной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим второй угол трапеции:$$\beta = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $66°$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Меньшая диагональ ромба соединяет вершины с тупыми углами и делит эти углы пополам.
2. 2
   Найдём тупой угол ромба как угол, соседний с острым:$$180° - 66° = 114°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $83^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 83^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $37^\circ$, значит она делит угол $A$ на два угла: $37^\circ$ и искомый.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 83^\circ - 37^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 24, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла. Острый угол равен $30^\circ$.$$30^\circ = 180^\circ - 150^\circ$$
2. 2
   Вычислим высоту ромба:$$h = 24\sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 54, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус угла между стороной и основанием.$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим значения стороны и угла.$$h = 54\sin 150^\circ = 54\cdot\frac{1}{2}=27$$

Угол прямоугольной трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $37^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два оставшихся угла являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Если один из этих углов равен $37^\circ$, то второй, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $54^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому $\angle BAD = \angle ADC = 54^\circ$.$$\angle BAD = 54^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит он делит этот угол пополам.$$\angle CAD = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Углы равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $268^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $268^\circ$, — равные большие углы.$$268^\circ : 2 = 134^\circ$$
2. 2
   Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $134^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Большая диагональ ромба проходит через вершины его тупых углов и делит их пополам.$$134^\circ : 2 = 67^\circ$$
2. 2
   Высота ромба перпендикулярна стороне. Поэтому угол между высотой и диагональю дополняет угол между диагональю и стороной до $90^\circ$; с учётом расположения углов получаем искомое значение $67^\circ$.$$90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$$