Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{11+19}{2} = 15$$

Угол параллелограмма по биссектрисе

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $12^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $BC \parallel AD$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $12^\circ$.$$\angle DAC = 12^\circ$$
2. 2
   Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ в два раза больше угла между биссектрисой и стороной $AD$.$$\angle A = 2\angle DAC = 2\cdot 12^\circ = 24^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол высоты и диагонали

Один из углов ромба равен $118^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба проходит через его острые углы и делит их пополам. Поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $84^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $19°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 73^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $19°$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 73^\circ - 19^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отрезки средней линии трапеции

Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Диагональ трапеции пересекает её среднюю линию и делит её на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \frac{1}{2},\quad l_2 = \frac{11}{2}$$
2. 2
   Больший из полученных отрезков равен половине большего основания.$$l_{\max} = \frac{11}{2} = 5{,}5$$

Основания равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

1. 1
   При опускании высот из концов меньшего основания образуются два равных прямоугольных треугольника. Их вертикальный катет равен высоте трапеции, то есть $5$.
2. 2
   Угол при основании равен $45^\circ$, поэтому горизонтальный катет каждого треугольника равен$$x=\frac{5}{\tan 45^\circ}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AC = 14$, $BD = 18$, $AB = 5$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{18}{2} = 9$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $74^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Основания трапеции параллельны, поэтому углы при боковой стороне $CD$ являются внутренними односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle BCD = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $BCD$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $58^\circ$, и искомый угол между диагональю и основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 106^\circ - 58^\circ = 48^\circ$$

Больший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $26^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим больший угол:$$\beta = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $146^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острые углы пополам. Значит, угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{34^\circ}{2} = 17^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями прямоугольника

Диагональ прямоугольника образует угол $51^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника образуют с одной и той же стороной равные по величине углы, расположенные по разные стороны от этой стороны. Поэтому тупой угол между диагоналями равен$$51^\circ + 51^\circ = 102^\circ$$
2. 2
   Острый угол между диагоналями является смежным с тупым:$$180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 5.

1. 1
   В равнобедренной трапеции меньшее основание расположено симметрично относительно большего, поэтому горизонтальная проекция диагонали равна сумме меньшего основания и половины разности оснований.$$x = 2 + \dfrac{5 - 2}{2} = 3{,}5$$
2. 2
   Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$. В получившемся прямоугольном треугольнике катет, равный высоте трапеции, и горизонтальная проекция диагонали равны.$$h = x\tan 45^\circ = 3{,}5 \cdot 1 = 3{,}5$$

Большая высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 30, а две его стороны равны 6 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

1. 1
   Высоту параллелограмма находим как отношение площади к длине соответствующей стороны.$$h = \dfrac{S}{a}$$
2. 2
   Для стороны длиной 6 высота равна:$$h_1 = \dfrac{30}{6} = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61°$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81°$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим…

1. 1
   Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны углы $CDA = 61°$ и $ACD = 81°$.
2. 2
   Найдём угол $CAD$ по сумме углов треугольника.$$\angle CAD = 180° - 61° - 81° = 38°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{(7+11) \cdot 7}{2} = \dfrac{18 \cdot 7}{2} = 63$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   Опустим высоту из конца меньшего основания. Она образует прямоугольный треугольник у одной боковой стороны. В равнобедренной трапеции соответствующий треугольник у другой боковой стороны равен ему, поэтому боковые части большего основания…
2. 2
   Меньшее основание является разностью отрезков, на которые высота делит большее основание:$$5 - 3 = 2$$

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 8$, $AB = 9$. Найдите $AC$.

1. 1
   Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника, поэтому она делит диагональ $BD$ пополам.$$BD = 2BO = 2 \cdot 8 = 16$$
2. 2
   Диагонали прямоугольника равны.$$AC = BD = 16$$

Меньшее основание трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому отрезки большего основания, выступающие за пределы меньшего основания, равны.
2. 2
   По условию эти отрезки имеют длины 3 и 6. Разность оснований равна разности этих отрезков:$$6 - 3 = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $99^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$180^\circ$$
2. 2
   Вычтем из $180^\circ$ данный угол:$$180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$$