Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $104^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому сумма его соседних углов равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим угол, соседний с углом $104^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$$

Основание равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

1. 1
   Опустим из концов меньшего основания перпендикуляры на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника с высотой 5 и углом при основании $45^\circ$.
2. 2
   Обозначим длину выступа большей боковой части за $x$. Тогда$$\tan 45^\circ = \frac{5}{x}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $52^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому$$\angle BAD = \angle ADC = 52^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит$$\angle CAD = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 28, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   Все стороны ромба равны, поэтому длина его стороны равна:$$a=\frac{28}{4}=7$$
2. 2
   Площадь ромба через сторону и угол между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Больший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $61^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим угол, смежный с данным:$$\beta = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $110^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол ромба равен:$$180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба проходит через его острые углы и делит их пополам. Значит, угол между диагональю и стороной равен:$$\frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $53^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, внутренние односторонние углы при боковой стороне $CD$ supplementary.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на углы $BCA$ и $ACD$. По условию $\angle ACD = 53^\circ$.$$\angle BCA = \angle C - \angle ACD = 107^\circ - 53^\circ = 54^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по формуле:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны квадрата:$$d=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot2=4$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 4 и 12, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{4+12}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$$

Высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 28, а две его стороны равны 14 и 7. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

1. 1
   Высоту параллелограмма найдём по формуле площади $S = ah$.$$h = \dfrac{S}{a}$$
2. 2
   Высота, проведённая к стороне длиной 14, равна:$$h_1 = \dfrac{28}{14} = 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол ромба и диагональ

Острый угол ромба равен $62^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседний с острым углом угол ромба является тупым:$$180^\circ-62^\circ=118^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба соединяет тупые вершины и делит тупые углы пополам:$$118^\circ:2=59^\circ$$

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 10 и 11. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции высоты, проведённые из концов меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Поэтому разность оснований равна разности двух данных отрезков.$$BC = 11 - 10$$
2. 2
   Вычисляем длину меньшего основания.$$BC = 1$$

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 4 и 6, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований:$$m = \dfrac{4+6}{2} = 5$$

Угол параллелограмма по биссектрисе

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD \parallel BC$, угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$.$$\angle BAD_1 = 33^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла, поэтому угол параллелограмма равен удвоенному найденному углу.$$\angle A = 2 \cdot 33^\circ = 66^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $29^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Так как один из углов равен $29^\circ$, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 29^\circ = 151^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $108^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны. Соседние углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Если один из углов равен $108^\circ$, то меньший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Обозначим искомый угол при большем основании через $x$. Так как трапеция равнобедренная, второй угол при большем основании также равен $x$.
2. 2
   Угол между диагональю и большим основанием равен разности искомого угла и угла между диагональю и боковой стороной:$$x - 18^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $178^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Так как их сумма равна $178^\circ$, каждый из них равен:$$\alpha = \frac{178^\circ}{2} = 89^\circ$$
2. 2
   Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$, поэтому больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 89^\circ = 91^\circ$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $28^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Перпендикуляр к стороне образует с диагональю угол $28^\circ$, поэтому угол между этой стороной и диагональю равен$$90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Значит, тупой угол ромба равен$$2 \cdot 62^\circ = 124^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $48°$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому соседние углы supplementary:$$\angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 48° = 132°$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $C$ пополам:$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{132°}{2} = 66°$$