Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{48}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}$.

1. 1
   Представим число $48$ как произведение $16\cdot3$ и упростим квадратный корень.$$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение.$$\left(4\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=5\cdot3=15$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{8})^2}{160}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(2\sqrt{8})^2=2^2\cdot(\sqrt{8})^2=4\cdot 8=32$$
2. 2
   Разделим полученное значение на $160$:$$\dfrac{32}{160}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$$

Умножение квадратных корней

Найдите значение выражения $5\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и объединим множители под знаком квадратного корня.$$5\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}=10\sqrt{13\cdot 3\cdot 39}$$
2. 2
   Так как $13\cdot 3=39$, подкоренное выражение является квадратом числа $39$.$$10\sqrt{13\cdot 3\cdot 39}=10\sqrt{39^2}=10\cdot 39=390$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{18}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Преобразуем первый корень:$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сложим подобные слагаемые:$$(\sqrt{18}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(3\sqrt{2}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^8)^2}{a^{11}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе.$$(a^8)^2 = a^{16}$$
2. 2
   Сократим степени с одинаковым основанием.$$\dfrac{a^{16}}{a^{11}} = a^{16-11} = a^5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{24^9}$.

1. 1
   Представим число $24$ в виде произведения $2 \cdot 12$ и применим свойство степени произведения.$$24^9 = (2 \cdot 12)^9 = 2^9 \cdot 12^9$$
2. 2
   Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим одинаковые множители.$$\dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{24^9} = \dfrac{2^9 \cdot 12^{11}}{2^9 \cdot 12^9} = 12^{11-9} = 12^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение корня из степени

Найдите значение выражения $\sqrt{9^4}$.

1. 1
   Преобразуем выражение под знаком корня как квадрат степени:$$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}$$
2. 2
   Корень из квадрата неотрицательного числа равен самому числу:$$\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{50}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним действия:$$(5\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot 2=8$$

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{27}$ и $\sqrt{37}$ принадлежит промежутку $[5; 6]$?

1. 1
   Для определения положения корня сравним подкоренное выражение с квадратами границ промежутка.$$5^2 = 25,\quad 6^2 = 36$$
2. 2
   Следовательно, число $\sqrt{a}$ принадлежит промежутку $[5; 6]$, если $25 \leq a \leq 36$.$$25 \leq a \leq 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{23}$ и $\sqrt{31}$ принадлежит промежутку $[5; 6]$?

1. 1
   Возводим границы промежутка в квадрат:$$5^2 = 25,\quad 6^2 = 36$$
2. 2
   Сравниваем подкоренные числа с 25 и 36. Только число 31 расположено между ними:$$25 < 31 < 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{83}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел 9 и 10.$$9^2 = 81,\quad 10^2 = 100$$
2. 2
   Число 83 находится между 81 и 100, поэтому квадратный корень из 83 находится между 9 и 10.$$81 < 83 < 100 \Longrightarrow 9 < \sqrt{83} < 10$$

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{27}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел 5 и 6:$$5^2 = 25,\quad 6^2 = 36$$
2. 2
   Число 27 находится между 25 и 36, значит его квадратный корень находится между 5 и 6:$$25 < 27 < 36 \Rightarrow 5 < \sqrt{27} < 6$$

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел принадлежит промежутку $[5; 6]$?

1. 1
   Чтобы определить, принадлежит ли $\sqrt{a}$ промежутку $[5; 6]$, сравним подкоренное выражение с квадратами границ.$$5^2 \leq a \leq 6^2 \Longleftrightarrow 25 \leq a \leq 36$$
2. 2
   Из предложенных подкоренных выражений только $32$ удовлетворяет этому условию.$$25 \leq 32 \leq 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{28}$ и $\sqrt{41}$ принадлежит промежутку $[5; 6]$?

1. 1
   Возведём границы промежутка в квадрат:$$5^2 = 25,\quad 6^2 = 36$$
2. 2
   Проверяем подкоренные выражения. Только число $28$ находится между $25$ и $36$:$$25 < 28 < 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень в числовом промежутке

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{35}$ и $\sqrt{42}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$?

1. 1
   Возведём границы промежутка в квадрат:$$6^2 = 36,\quad 7^2 = 49$$
2. 2
   Следовательно, $\sqrt{x} \in [6;7]$, если $x \in [36;49]$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число на координатной прямой

Одно из чисел $\sqrt{29}$, $\sqrt{33}$, $\sqrt{39}$, $\sqrt{44}$ отмечено на координатной прямой точкой $A$. Точка $A$ расположена между числами 6 и 7, ближе к 7.

1. 1
   Точка $A$ находится между 6 и 7, причём ближе к 7. Значит, исковое число должно быть близко к 7.$$6^2=36,\quad 7^2=49$$
2. 2
   Оценим предложенные корни: $\sqrt{29}\approx5{,}39$, $\sqrt{33}\approx5{,}74$, $\sqrt{39}\approx6{,}24$, $\sqrt{44}\approx6{,}63$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{40}$ и $\sqrt{51}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$?

1. 1
   Определим, какие подкоренные выражения могут дать число из промежутка $[6; 7]$.$$6 \leq \sqrt{a} \leq 7 \Longleftrightarrow 36 \leq a \leq 49$$
2. 2
   Проверяем подкоренные выражения: $6$ и $7$ меньше $36$, а $51$ больше $49$. Число $40$ находится между $36$ и $49$.$$36 \leq 40 \leq 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{57}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел 7 и 8:$$7^2 = 49, \quad 8^2 = 64$$
2. 2
   Число 57 находится между 49 и 64:$$49 < 57 < 64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{38}$ и $\sqrt{50}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$?

1. 1
   Возведём концы промежутка в квадрат:$$6^2 = 36, \quad 7^2 = 49$$
2. 2
   Проверяем подкоренные выражения. Только число $38$ находится между $36$ и $49$:$$36 < 38 < 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{46}$ и $\sqrt{55}$ принадлежит промежутку $[6; 7]$?

1. 1
   Чтобы корень $\sqrt{n}$ принадлежал промежутку $[6; 7]$, возведём границы в квадрат:$$6^2 \leq n \leq 7^2$$
2. 2
   Получаем условие $36 \leq n \leq 49$. Из предложенных подкоренных выражений ему удовлетворяет только число $46$.$$36 < 46 < 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении