Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{10} \cdot 11^7}{22^7}$.

1. 1
   Разложим число $22$ на простые множители и возведём произведение в степень:$$22^7 = (2 \cdot 11)^7 = 2^7 \cdot 11^7$$
2. 2
   Подставим это выражение в исходную дробь и сократим одинаковые множители:$$\dfrac{2^{10} \cdot 11^7}{22^7} = \dfrac{2^{10} \cdot 11^7}{2^7 \cdot 11^7} = 2^{10-7} = 2^3 = 8$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5^2)^{-8}}{5^{-18}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу $(a^m)^n=a^{mn}$.$$(5^2)^{-8}=5^{2\cdot(-8)}=5^{-16}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{5^{-16}}{5^{-18}}=5^{-16-(-18)}=5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{5} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{10}$.

1. 1
   Объединим произведение корней под одним знаком квадратного корня.$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{18}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{5\cdot18\cdot10}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{5\cdot18\cdot10}=\sqrt{900}=30$$

Степени с целым показателем

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^4)^4}{a^{14}}$ при $a = 6$.

1. 1
   Применим правило возведения степени в степень:$$(a^4)^4 = a^{16}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{16}}{a^{14}} = a^{16-14} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{18} \cdot a^{-6}}{a^{10}}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{18} \cdot a^{-6}}{a^{10}} = a^{18 + (-6) - 10} = a^2$$
2. 2
   Подставим значение $a = 5$:$$a^2 = 5^2 = 25$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-4} \cdot 3^{14}}{3^8}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$\dfrac{3^{-4} \cdot 3^{14}}{3^8} = 3^{-4+14-8}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение выражения.$$3^{-4+14-8} = 3^2 = 9$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{4^{-10}} \cdot \dfrac{1}{4^9}$.

1. 1
   Применим свойство отрицательной степени:$$\dfrac{1}{4^{-10}} = 4^{10}$$
2. 2
   Представим второй множитель как степень с отрицательным показателем:$$\dfrac{1}{4^9} = 4^{-9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{17}\cdot a^{-6}}{a^9}$ при $a=4$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием, сложив показатели в числителе:$$a^{17}\cdot a^{-6}=a^{17+(-6)}=a^{11}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{11}}{a^9}=a^{11-9}=a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение степени

Найдите значение выражения $\dfrac{2^7}{8}$.

1. 1
   Представим знаменатель в виде степени числа $2$:$$8=2^3$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{2^7}{8}=\dfrac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4=16$$

Упростить выражение с корнями

Найдите значение выражения $\sqrt{5 \cdot 12} \cdot \sqrt{15}$.

1. 1
   Объединим произведение корней в один квадратный корень:$$\sqrt{5 \cdot 12} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 12 \cdot 15}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень:$$\sqrt{5 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt{900} = 30$$

Значение произведения сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим.$$(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)=(\sqrt{13})^2-2^2=13-4=9$$

Значение произведения корней

Найдите значение выражения $(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$(\sqrt{13}-\sqrt{2})(\sqrt{13}+\sqrt{2})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2=13-2=11$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{54}{(3\sqrt{2})^2}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{54}{18} = 3$$

Значение степени при a равно 3

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^5}{a^{11}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе:$$(a^3)^5 = a^{15}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{15}}{a^{11}} = a^{15-11} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2+8ab+16b^2}$ при $a=3\frac{2}{3}$ и $b=\frac{1}{3}$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом суммы:$$a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2$$
2. 2
   Подставим значения переменных:$$a+4b=3\frac{2}{3}+4\cdot\frac{1}{3}=\frac{11}{3}+\frac{4}{3}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Упростить выражение со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5 \cdot 7)^6}{5^4 \cdot 7^6}$.

1. 1
   Применим свойство степени произведения:$$(5 \cdot 7)^6 = 5^6 \cdot 7^6$$
2. 2
   Сократим множители $7^6$ и разделим степени с основанием $5$:$$\dfrac{5^6 \cdot 7^6}{5^4 \cdot 7^6} = 5^{6-4} = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(6^2)^{-9}}{6^{-20}}$.

1. 1
   Преобразуем степень в числителе по правилу степени степени.$$(6^2)^{-9} = 6^{2 \cdot (-9)} = 6^{-18}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$\dfrac{6^{-18}}{6^{-20}} = 6^{-18-(-20)} = 6^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-5} \cdot 2^{17}}{2^8}$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$2^{-5} \cdot 2^{17} : 2^8 = 2^{-5+17-8}$$
2. 2
   Вычисляем показатель степени и значение степени.$$2^{-5+17-8} = 2^4 = 16$$

Упрощение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{32}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{12}}$.

1. 1
   Объединим корни, используя свойства арифметического квадратного корня.$$\dfrac{\sqrt{32}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\dfrac{32\cdot6}{12}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения.$$\dfrac{32\cdot6}{12}=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{(-a)^2 \cdot a^4}$ при $a = 3$.

1. 1
   Подставим $a = 3$ в выражение:$$\sqrt{(-3)^2 \cdot 3^4}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$\sqrt{3^2 \cdot 3^4} = \sqrt{3^6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении