Тапсырма 23 ОГЭ по математика: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты ромба, поэтому высота равна $2 \cdot 13 = 26$.

Пусть половина второй диагонали равна $x$. Одна из диагоналей равна $52$, поэтому её половина равна $26$. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, сторона ромба равна $\sqrt{26^2+x^2}$.

Так как $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.

Диагональ $BD$ является секущей параллельных прямых $BC$ и $AD$, поэтому углы, лежащие между сторонами $BC$, $BD$ и $BD$, $DA$, равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ являются общими, а соответствующие углы треугольников $BMN$ и $BAC$ равны. Следовательно, эти треугольники подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Из подобия треугольников получаем пропорцию соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{22}{55} = \frac{2}{5}$$

По теореме о катете квадрат катета $AB$ равен произведению гипотенузы $AC$ на проекцию катета $AB$ на гипотенузу, то есть на отрезок $AH$.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 45 \cdot 5 = 225$$

Пусть $h$ — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $CD$, высотой и основанием, угол между стороной $CD$ и основанием имеет величину $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.$$h = CD \cdot \sin 60^\circ$$

Найдём высоту трапеции:$$h = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3}$$

Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, поэтому они равны. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle ABM = \angle CDM$$

Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$

Из условия $CF : DF = 4 : 1$, поэтому $CD$ состоит из пяти равных частей, а $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{4}{5}$.

Так как $EF \parallel AD \parallel BC$, длина параллельного основаниям отрезка изменяется линейно от $BC$ до $AD$. При продвижении от $BC$ к $AD$ на долю $\dfrac{4}{5}$ длина увеличивается на соответствующую долю разности оснований.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$

Обозначим вторую диагональ ромба через $d$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба равна$$a=\sqrt{30^2+\left(\frac d2\right)^2}=\frac12\sqrt{3600+d^2}$$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, а расстояние от центра ромба до стороны является радиусом вписанной окружности: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p=2a$ — полупериметр.$$15=\frac{30d}{\sqrt{3600+d^2}}$$

Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 8 + 2 = 10$$

Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 10$. Поскольку $AH$ — высота ромба, треугольник $ADH$ прямоугольный.

Так как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ прямые. Следовательно, $PH \perp AB$ и $KH \perp CB$.

Поскольку $AB \perp CB$, отрезки $PH$ и $KH$ параллельны соответственно $CB$ и $AB$. Поэтому четырёхугольник $BPHK$ является прямоугольником.

Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-63^\circ-87^\circ=30^\circ$$

По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Из отношения $CF : DF = 3 : 2$ следует, что вся боковая сторона $CD$ состоит из $5$ равных частей, а $CF$ — из $3$ таких частей. Поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{3}{5}$.$$\frac{CF}{CD}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$$

При перемещении параллельного основания от $BC$ к $AD$ длина сечения увеличивается от $15$ до $25$. На доле $\dfrac{3}{5}$ этого пути увеличение длины равно:$$\frac{3}{5}(AD-BC)=\frac{3}{5}(25-15)=6$$

Проведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $15$.$$\frac{AB}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=20^2+15^2=400+225=625,\quad R=25$$

Так как основания трапеции параллельны, сумма углов $A$ и $B$, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$

Точка $F$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$. Поэтому в треугольнике $AFB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ трапеции. Их сумма равна $90^\circ$, следовательно, треугольник $AFB$ прямоугольный, а $AB$ — его…$$\angle AFB = \dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2} = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Половина хорды $AB$ равна $20 : 2 = 10$.$$R^2 = 24^2 + 10^2$$

Найдём радиус окружности:$$R^2 = 576 + 100 = 676,\quad R = 26$$

Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b = \sqrt{51^2 - 24^2} = \sqrt{2601 - 576} = \sqrt{2025} = 45$$

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой, проведённой к ней:$$\frac{24 \cdot 45}{2} = \frac{51h}{2}$$

Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$

Запишем отношение сходственных сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{17}{51} = \frac{1}{3}$$

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.$$AB^2 = AC \cdot AH$$

Подставим известные значения.$$AB^2 = 32 \cdot 8 = 256$$

Найдём угол $A$ треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-66^\circ-84^\circ=30^\circ$$

По расширенной теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Так как $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, отрезок $AH$ является проекцией катета $AB$ на гипотенузу $AC$.

По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.$$AB^2 = AC \cdot AH$$