Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по физике: «Колебания и волны» — с ответами

Изменение параметров колебаний

Груз, подвешенный к пружине жёсткостью $k$, совершает свободные вертикальные колебания с периодом $T$ и амплитудой $x_0$. Что произойдёт с периодом колебаний и максимальной скоростью груза, если при…

1. 1
   Период колебаний груза на пружине определяется формулой:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
2. 2
   При уменьшении жёсткости пружины $k$ период колебаний увеличивается.

Ещё 2 шага — в полном решении

Колебания шарика на нити

Железный сплошной шарик совершает малые свободные колебания на лёгкой нерастяжимой нити. Затем этот шарик заменили на сплошной алюминиевый шарик такого же диаметра. Амплитуда колебаний в обоих…

1. 1
   Частота малых свободных колебаний математического маятника не зависит от массы шарика:$$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$$
2. 2
   Длина нити и ускорение свободного падения не изменились, поэтому частота колебаний не изменится.

Ещё 2 шага — в полном решении

Частота колебаний шарика

Шарик, подвешенный на пружине, сместили вертикально вниз на расстояние $0{,}1\ \text{м}$ от положения равновесия и отпустили с начальной скоростью, равной нулю. Какова частота колебаний шарика, если…

1. 1
   Шарик отпустили из крайнего положения, поэтому его начальная скорость равна нулю, а амплитуда колебаний равна $0{,}1\ \text{м}$.
2. 2
   Путь от одного крайнего положения до другого равен двум амплитудам: $2A = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2\ \text{м}$. Такой путь шарик проходит за половину периода.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сила и энергия пружины

Один конец лёгкой пружины жёсткостью $k$ прикреплён к бруску, а другой закреплён неподвижно. Брусок скользит по горизонтальной направляющей так, что его координата изменяется со временем по закону…

1. 1
   Проекция силы упругости определяется законом Гука. Подставляем заданную координату бруска:$$F_x(t)=-kx(t)=-kA\sin\omega t$$
2. 2
   Потенциальная энергия деформированной пружины равна половине произведения жёсткости на квадрат деформации:$$E_\text{п}(t)=\frac{kx^2(t)}{2}=\frac{kA^2}{2}\sin^2\omega t$$

Энергия груза и пружины

Массивный груз, подвешенный к потолку на невесомой пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остаётся растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины и…

1. 1
   При движении груза вверх от положения равновесия растяжение пружины уменьшается. Так как пружина всё время остаётся растянутой, её потенциальная энергия уменьшается.$$E_{\text{пружины}} = \dfrac{kx^2}{2}$$
2. 2
   Груз поднимается, его высота увеличивается. Следовательно, потенциальная энергия груза в поле тяжести увеличивается.$$E_{\text{тяжести}} = mgh$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Графики колебаний груза

Груз, привязанный к длинной нерастяжимой нити, отклонили от положения равновесия на малый угол и в момент времени $t = 0$ отпустили с нулевой начальной скоростью. На графиках А и Б показано…

1. 1
   В момент $t=0$ груз отпущен из крайнего положения с нулевой начальной скоростью. Поэтому координата имеет ненулевое крайнее значение, а проекция скорости равна нулю.$$x(0)\ne 0,\quad v_x(0)=0$$
2. 2
   На графике А при $t=0$ величина равна нулю, после чего возрастает. Это соответствует проекции скорости груза.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Изменение параметров колебаний

Подвешенный на пружине груз совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину заменили на другую, жёсткость которой больше, оставив массу груза и амплитуду колебаний неизменными. Как…

1. 1
   Циклическая частота груза на пружине определяется жёсткостью пружины и массой груза:$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
2. 2
   При увеличении жёсткости $k$ и неизменной массе $m$ циклическая частота, а значит и частота $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$, увеличивается.

Ещё 2 шага — в полном решении

Частота гармонических колебаний

На рисунке показан график зависимости координаты $x$ от времени $t$ для одной из точек колеблющейся струны. Чему равна частота этих колебаний струны согласно графику?

1. 1
   Период равен промежутку времени между двумя соседними максимумами координаты. По графику максимумы наблюдаются при $t = 0$ и $t = 8 \cdot 10^{-3}\ \text{с}$.$$T = 8 \cdot 10^{-3}\ \text{с}$$
2. 2
   Частота колебаний — величина, обратная периоду.$$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{8 \cdot 10^{-3}} = 125\ \text{Гц}$$

Минимальная кинетическая энергия

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону $x = A\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$, где период $T = 2\ \text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с момента…

1. 1
   Кинетическая энергия минимальна, когда скорость груза равна нулю.$$E_k = \dfrac{mv^2}{2},\quad E_{k,\min}=0\ при\ v=0$$
2. 2
   Найдём скорость как производную смещения по времени.$$v = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Колебания пружинного маятника

На гладком горизонтальном столе брусок массой $M$, прикреплённый к вертикальной стене лёгкой горизонтальной пружиной жёсткостью $k$, совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $A$…

1. 1
   Циклическая частота свободных колебаний пружинного маятника определяется жёсткостью пружины и массой бруска.$$\omega=\sqrt{\frac{k}{M}}$$
2. 2
   Частота колебаний связана с циклической частотой соотношением $\nu=\dfrac{\omega}{2\pi}$.$$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия пружинного маятника

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону $x = A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$, где период $T = 1\ \text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с момента…

1. 1
   Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения.$$E_p = \frac{kx^2}{2}$$
2. 2
   В начальный момент $x(0) = A$, поэтому для уменьшения энергии вдвое необходимо, чтобы модуль смещения стал равен $A/\sqrt{2}$.$$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{kA^2}{2},\qquad |x| = \frac{A}{\sqrt{2}}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Изменение периода контура

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. Во сколько раз увеличится период свободных электромагнитных колебаний в этом контуре, если…

1. 1
   По формуле Томсона период колебаний в идеальном колебательном контуре определяется произведением индуктивности и ёмкости.$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$
2. 2
   После изменения параметров индуктивность станет $18L$, а ёмкость — $C/2$.$$T_2 = 2\pi\sqrt{18L\cdot\frac{C}{2}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Изменение частоты колебательного контура

Во сколько раз увеличится частота свободных электромагнитных колебаний в контуре, если площадь пластин конденсатора, входящего в состав контура, уменьшить в 9 раз, а индуктивность катушки увеличить…

1. 1
   Частота свободных электромагнитных колебаний определяется формулой Томсона.$$\nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$
2. 2
   Ёмкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади его пластин. Поэтому при уменьшении площади в 9 раз ёмкость уменьшается в 9 раз: $C_2 = C_1/9$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Индуктивность колебательного контура

В таблице показано, как изменялся заряд одной из обкладок конденсатора в идеальном колебательном контуре с течением времени при свободных колебаниях.

1. 1
   По таблице определяем период: заряд равен максимальному положительному значению при $t=0$ и $t=8\cdot10^{-6}\ \text{с}$.$$T=8\cdot10^{-6}\ \text{с}$$
2. 2
   Из формулы Томсона выразим индуктивность.$$T=2\pi\sqrt{LC},\qquad L=\frac{T^2}{4\pi^2C}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Индуктивность колебательного контура

В колебательном контуре (см. рисунок) индуктивность катушки $L = 6\ \text{мГн}$. Какой должна быть индуктивность $L_x$ второй катушки, чтобы при переводе ключа $К$ из положения 1 в положение 2…

1. 1
   Период собственных электромагнитных колебаний определяется формулой Томсона.$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$
2. 2
   Ёмкость конденсатора остаётся неизменной, поэтому отношение периодов определяется отношением индуктивностей.$$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{L_x}{L}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Зависимость частоты от ёмкости

Ученик изучает свободные электромагнитные колебания. В его распоряжении имеются пять аналогичных колебательных контуров с различными катушками индуктивности и конденсаторами, характеристики которых…

1. 1
   Для исследования зависимости частоты от электроёмкости необходимо изменять ёмкость конденсатора, сохраняя остальные параметры одинаковыми. По формуле Томсона частота зависит от индуктивности и ёмкости:$$\nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$
2. 2
   В таблице ищем два контура с одинаковой индуктивностью и различной электроёмкостью. У контуров 2 и 4 индуктивность одинакова: $L = 6$ мГн, а ёмкости различны: $5$ мкФ и $10$ мкФ.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Заряд конденсатора в контуре

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, равен $6{,}3\ мкс$. Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 5\ мА$. В…

1. 1
   Для свободных электромагнитных колебаний связь амплитуд заряда и силы тока имеет вид:$$I_m = \frac{2\pi q_m}{T}$$
2. 2
   Найдём амплитуду заряда конденсатора. Переведём величины в СИ: $I_m = 5 \cdot 10^{-3}\ \text{А}$, $T = 6{,}3 \cdot 10^{-6}\ \text{с}$.$$q_m = \frac{I_m T}{2\pi} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 6{,}3 \cdot 10^{-6}}{2\pi} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-9}\ \text{Кл}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Период колебательного контура

Период собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре составляет $1\ \text{мкс}$. Каким станет период собственных электромагнитных колебаний в этом контуре, если ключ $K$…

1. 1
   При положении ключа 1 в контур включён конденсатор ёмкости $C$, а при положении 2 — конденсатор ёмкости $4C$.
2. 2
   По формуле Томсона период пропорционален корню из ёмкости при неизменной индуктивности:$$T=2\pi\sqrt{LC},\qquad \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{4C}{C}}=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Период колебаний контура

На рисунке приведён график зависимости силы тока в идеальном колебательном контуре от времени в процессе свободных электромагнитных колебаний. Каким станет период свободных электромагнитных…

1. 1
   По графику расстояние между соседними максимумами силы тока равно исходному периоду колебаний.$$T = 5 - 1 = 4\ \text{мкс}$$
2. 2
   Период свободных электромагнитных колебаний в контуре равен $T = 2\pi\sqrt{LC}$. При замене конденсатора его ёмкость станет $C' = C/4$.$$T' = 2\pi\sqrt{L\frac{C}{4}} = \frac{T}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия катушки контура

В таблице показано, как менялся ток в катушке идеального колебательного контура при свободных электромагнитных колебаниях в этом контуре. Вычислите по этим данным максимальную энергию катушки, если…

1. 1
   По таблице ток принимает одинаковое максимальное значение при $t=0$ и $t=8\cdot10^{-6}\ \text{с}$, поэтому период колебаний равен:$$T=8\cdot10^{-6}\ \text{с}$$
2. 2
   Максимальное значение силы тока:$$I_{\max}=4\cdot10^{-3}\ \text{А}$$

Ещё 3 шага — в полном решении