Шешімі: Энергия пружинного маятника
Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону $x = A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$, где период $T = 1\ \text{с}$. Через какое минимальное время, начиная с момента $t = 0$, потенциальная энергия маятника уменьшится вдвое?
Шешім по шагам
4 қадамПотенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения.
$$E_p = \frac{kx^2}{2}$$В начальный момент $x(0) = A$, поэтому для уменьшения энергии вдвое необходимо, чтобы модуль смещения стал равен $A/\sqrt{2}$.
$$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{kA^2}{2},\qquad |x| = \frac{A}{\sqrt{2}}$$Подставляем закон движения и находим первое положительное время, при котором косинус равен $1/\sqrt{2}$.
$$\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \frac{2\pi}{T}t=\frac{\pi}{4}$$При $T=1\ \text{с}$ минимальное время равно:
$$t=\frac{T}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125\ \text{с}$$Где здесь ошибаются
Считать, что при уменьшении энергии вдвое смещение уменьшается вдвое.
Іздеу время $T/4$, не учитывая квадрат зависимости энергии от смещения.
Выбрать время, соответствующее следующему, а не первому достижению нужного смещения.