Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Планиметрия» — с ответами

Вписанный угол окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $AOD$ равен $16^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными.$$OB \text{ и } OD \text{ — противоположные лучи}$$
2. 2
   Центральный угол $AOB$ является смежным с углом $AOD$.$$\angle AOB = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в вписанном четырёхугольнике

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $103^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot103^\circ=206^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому найдём её величину.$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot42^\circ=84^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота треугольника по площади

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

1. 1
   Найдём площадь треугольника по большей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15 = 210$$
2. 2
   Выразим ту же площадь через меньшую сторону 21 и искомую высоту $h$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Градусная мера дуги

Угол $\angle ACO$ равен $57^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$. Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности…

1. 1
   Радиус $OA$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $CA$. Поэтому треугольник $AOC$ прямоугольный.$$OA \perp CA,\quad \angle OAC = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём угол при центре окружности. Лучи $OB$ и $OC$ совпадают, поэтому $\angle AOB = \angle AOC$.$$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В условии отсутствуют обозначения углов и числовое значение заданного угла, поэтому вычислить ответ однозначно невозможно.
2. 2
   Если углы являются противоположными, их сумма равна $180^\circ$, поэтому искомый угол вычисляется по формуле:$$x = 180^\circ - \alpha$$

Угол между биссектрисой и медианой

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $70^\circ$. Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому найдём угол $A$:$$A=90^\circ-B=90^\circ-70^\circ=20^\circ$$
2. 2
   Биссектриса прямого угла $C$ образует с каждым из катетов угол $45^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $58^\circ$, угол $CAD$ равен $39^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ и угол $CAD$ опираются соответственно на дуги $AD$ и $CD$.
2. 2
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому он равен сумме углов, опирающихся на дуги $AD$ и $CD$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle CAD$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 9$, $CD = 17$. Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$.

1. 1
   Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы длин его противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Периметр четырёхугольника можно выразить через сумму известных противоположных сторон:$$P = 2(AB + CD)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 24 \cdot 18 = 432$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону 27.$$h = \dfrac{S}{27} = \dfrac{432}{27} = 16$$

Сторона описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 30, вписана окружность, $AB = 9$. Найдите длину стороны $CD$.

1. 1
   В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Следовательно, периметр равен удвоенной сумме двух противоположных сторон:$$P = 2(AB + CD)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции в треугольнике

Площадь треугольника $ABC$ равна 60. $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABED$.

1. 1
   Так как $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$. Поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия. Найдём площадь треугольника $CDE$.$$S_{CDE} = S_{ABC} \cdot k^2 = 60 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции в параллелограмме

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 28. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь трапеции $BCDE$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. Так как $E$ — середина стороны $AD$, то $DE = \dfrac{AD}{2}$.$$BC = AD,\quad DE = \frac{AD}{2}$$
2. 2
   Трапеция $BCDE$ и параллелограмм $ABCD$ имеют одну и ту же высоту. Отношение площадей равно отношению средней линии трапеции к основанию параллелограмма.$$\frac{S_{BCDE}}{S_{ABCD}} = \frac{BC + DE}{2AD} = \frac{AD + \frac{AD}{2}}{2AD} = \frac{3}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по средней линии

Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.

1. 1
   Поскольку $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, она параллельна $AB$ и равна половине этой стороны. Поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия.$$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ACB$ — вписанный и опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше:$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$$
2. 2
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными:$$\angle AOD = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{91})^2} = \sqrt{100 - 91} = 3$$
2. 2
   Для угла $A$ синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Угол между диаметрами окружности

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $61^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot61^\circ = 122^\circ$$
2. 2
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ образуют развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$

Сечение пирамиды трапецией

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно…

1. 1
   Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции $ABCD$, отрезок $MN$ является средней линией трапеции.$$MN\parallel AD\parallel BC,\qquad MN=\frac{AD+BC}{2}$$
2. 2
   Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает основание пирамиды по отрезку $MN$, параллельному основаниям трапеции. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами $SA$ и $SD$ соответственно. Так как плоскость…$$\frac{AP}{AS}=\frac{DQ}{DS}$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Биссектриса и площади фигур

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр…

1. 1
   Так как $BF$ — биссектриса угла $ABC$, по теореме о биссектрисе$$\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BC}$$
2. 2
   Из условия $AB=BD$ треугольник $ABD$ равнобедренный, поэтому $\angle BAD=\angle ADB$. Учитывая, что $E\in AD$ и $CK\perp AD$, сравнение треугольников, образованных прямой $AD$ и биссектрисой $BF$, даёт$$\frac{AE}{EK}=\frac{AB}{BC}$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Высоты и площади треугольников

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.

1. 1
   Так как $C_1K\parallel BB_1$, а $CH$ и $BH$ лежат на высотах $CC_1$ и $BB_1$, углы, образованные этими прямыми, позволяют установить подобие соответствующих прямоугольных треугольников. Из этого подобия следует$$\frac{KH}{C_1H}=\frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Следовательно, после перемножения получаем требуемое равенство:$$AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Трапеция и биссектриса

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$. а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$. б)…

1. 1
   Так как треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD$, то $AB=BD$, а углы при основании равны:$$\angle BAD=\angle ADB$$
2. 2
   Так как $AD\parallel BC$, то внутренние накрест лежащие углы равны:$$\angle ADB=\angle DBC$$

Ещё 8 шагов — в полном решении