Решение: Трапеция и биссектриса
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=15$ и $BD=8{,}5$.
Решение по шагам
10 шаговТак как треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD$, то $AB=BD$, а углы при основании равны:
$$\angle BAD=\angle ADB$$Так как $AD\parallel BC$, то внутренние накрест лежащие углы равны:
$$\angle ADB=\angle DBC$$Следовательно, $\angle BAD=\angle DBC$. Поскольку треугольник $BCD$ равнобедренный с основанием $CD$, имеем $BC=BD$. Вместе с $AB=BD$ получаем $AB=BC$.
Из $AB=BC$ и $AD\parallel BC$ следует, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, поэтому её диагонали равны:
$$AC=BD$$Для доказательства биссектрисы введём обозначения: $AD=2x$, $BD=l$, высота трапеции равна $h$. Из равнобедренности треугольника $ABD$ высота делит основание $AD$ пополам, поэтому:
$$l^2=x^2+h^2$$Так как $BC=l$ и основание $BC$ параллельно $AD$, горизонтальная проекция отрезка $CD$ равна $l-x$, а горизонтальная проекция диагонали $AC$ равна $l+x$. Поэтому:
$$AC^2=(l+x)^2+h^2=2l(l+x),\quad CD^2=(l-x)^2+h^2=2l(l-x)$$Из равенства $AC^2=2l(l+x)$ находим $l+x$:
$$l+x=\frac{AC^2}{2l}=\frac{15^2}{2\cdot 8{,}5}=\frac{225}{17}$$Так как $l=8{,}5=\frac{17}{2}$, то:
$$l-x=2l-(l+x)=17-\frac{225}{17}=\frac{64}{17}$$Следовательно:
$$CD^2=2l(l-x)=17\cdot\frac{64}{17}=64,\quad CD=8$$Кроме того, из равенств углов, полученных выше, следует, что углы между лучом $AC$ и сторонами $AB$, $AD$ равны; поэтому луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
а) Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. б) $CD=8$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указывают основание равнобедренного треугольника $BCD$: его основание — $CD$, поэтому $BC=BD$.
Не используют параллельность $AD\parallel BC$ при переносе углов.
Теряют квадрат при вычислении $CD^2$ и получают $CD=64$ вместо $CD=8$.
Записывают равенство диагоналей без предварительного доказательства, что трапеция является равнобедренной.