Высоты и перпендикуляры в треугольнике

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ0112D3Развёрнутое решение≈ 15 минут

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.
б) Найдите длину отрезка $ME$, если $AB=17$ и $AC=16$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A B C$ проведены
высоты $A H$ и $C T$ к боковым сторонам $B C$ и $A B .$ Отрезки $H M$ и $H K$ $—$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $C T$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$

а) Докажите, что прямые $A B$ и $E H$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $M E,$ если $A B = 17$ и $A C = 16.$

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Можно ввести координаты: расположить основание $AC$ на оси абсцисс, а вершину $B$ — на оси ординат.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Из равенства боковых сторон найдите координаты вершины $B$, затем координаты оснований перпендикуляров $H$, $K$ и $M$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Получите координаты $E$ как точки пересечения прямых $CT$ и $MK$. После этого проверьте, что направляющие векторы $AB$ и $EH$ пропорциональны, а длину $ME$ найдите по формуле расстояния между точками.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяТрапеция и биссектрисаСледующаяТрапеция и расстояние до диагонали

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль