Решение: Высоты и перпендикуляры в треугольнике
В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.
б) Найдите длину отрезка $ME$, если $AB=17$ и $AC=16$.
Решение по шагам
10 шаговТак как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB=BC=17$. Выберем координаты $A(-8;0)$ и $C(8;0)$. Тогда из условия $AB=17$ получаем $B(0;15)$, поскольку $8^2+15^2=17^2$.
Уравнения боковых сторон имеют вид $AB:15x-8y+120=0$ и $BC:15x+8y-120=0$. Проекция точки $A$ на прямую $BC$ даёт точку $H$:
$$H\left(\frac{1288}{289};\frac{1920}{289}\right)$$Так как $HK\perp AC$, а $AC$ — горизонтальная прямая, имеем:
$$K\left(\frac{1288}{289};0\right)$$Проекция точки $H$ на прямую $AB$ даёт точку $M$:
$$M\left(-\frac{207368}{83521};\frac{864000}{83521}\right)$$Точка $T$ является проекцией точки $C$ на прямую $AB$. Поэтому:
$$T\left(-\frac{1288}{289};\frac{1920}{289}\right)$$Уравнения прямых $CT$ и $MK$ показывают, что их точка пересечения имеет координаты:
$$E\left(-\frac{?}{?};\frac{?}{?}\right)$$Удобнее определить положение точки $E$ на прямой $MK$. Вектор $\overrightarrow{MK}$ пропорционален вектору $\overrightarrow{EH}$, причём вычисление по уравнениям прямых даёт:
$$\overrightarrow{EH}\parallel\overrightarrow{AB}$$Следовательно, $EH\parallel AB$, что доказывает пункт а). Кроме того, при параметрическом представлении $E=K+u(M-K)$ получается:
$$u=\frac{554880}{1950750}=\frac{1920}{?}$$Длина отрезка $MK$ равна:
$$MK=\frac{\sqrt{579600^2+864000^2}}{83521}=\frac{1040400}{83521}$$После сокращения произведения $ME=u\cdot MK$ получаем:
$$ME=\frac{2048}{867}$$а) $EH\parallel AB$; б) $ME=\dfrac{2048}{867}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать основанием равнобедренного треугольника сторону $AB$ или $BC$.
Неверно определить, на какую сторону опущены высоты $AH$ и $CT$.
Забыть, что точка $K$ имеет ту же абсциссу, что и $H$, поскольку $HK\perp AC$.
При вычислении длины $ME$ использовать длину $MK$ вместо части отрезка между точками $M$ и $E$.