Решение: Ромб и перпендикулярная прямая
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$. а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$. б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.
Решение по шагам
11 шаговВведём векторы $\vec{BA}=\vec a$ и $\vec{BC}=\vec c$. Так как $ABCD$ — ромб, то $|\vec a|=|\vec c|$. Выберем начало координат в точке $B$: $B=0$, $A=\vec a$, $C=\vec c$, $D=\vec a+\vec c$.
Из отношения $AM:MC=1:2$ следует, что точка $M$ делит диагональ $AC$ в отношении $1:2$ от точки $A$:
$$M=\frac{2\vec a+\vec c}{3}$$Из отношения $BN:ND=1:3$ следует:
$$N=\frac{\vec a+\vec c}{4}$$Направляющий вектор прямой $MN$ равен:
$$\overrightarrow{MN}=N-M=\frac{-5\vec a-\vec c}{12}$$Так как $MN\perp BC$, а направляющий вектор стороны $BC$ равен $\vec c$, то:
$$(-5\vec a-\vec c)\cdot\vec c=0$$Следовательно, учитывая равенство длин сторон ромба, получаем:
$$-5(\vec a\cdot\vec c)-|\vec c|^2=0,\qquad \vec a\cdot\vec c=-\frac{|\vec c|^2}{5}$$Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ со стороной $BC$. Запишем точку $P$ в виде $P=M+\lambda(N-M)$ и потребуем, чтобы коэффициент при $\vec a$ был равен нулю:
$$\frac23-\frac{5\lambda}{12}=0,\qquad \lambda=\frac85$$Коэффициент при $\vec c$ в точке пересечения равен:
$$\frac13-\frac{\lambda}{12}=\frac13-\frac{2}{15}=\frac15$$Значит, $P=\frac15\vec c$, поэтому $BP=\frac15BC$, а $PC=\frac45BC$. Следовательно:
$$BP:PC=\frac15:\frac45=1:4$$Обозначим сторону ромба через $s$. Длина отрезка $MN$ определяется равенством:
$$MN^2=\frac{|5\vec a+\vec c|^2}{144}=\frac{25s^2+s^2+10(\vec a\cdot\vec c)}{144}=\frac{26s^2-2s^2}{144}=\frac{s^2}{6}$$По условию $MN=\sqrt6$, поэтому:
$$6=\frac{s^2}{6},\qquad s^2=36,\qquad s=6$$Прямая $MN$ делит сторону $BC$ в отношении $1:4$; сторона ромба равна $6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать отношения $AM:MC$ и $BN:ND$ при записи координат точек $M$ и $N$.
Забыть, что в ромбе длины векторов соседних сторон равны.
Неправильно определить, какая часть стороны соответствует отрезкам $BP$ и $PC$.
Не учесть условие $MN\perp BC$ при вычислении скалярного произведения.