Решение: Центры касающихся окружностей
Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$.
б) Найдите $O_1O_2$.
Решение по шагам
9 шаговТак как окружность с центром $O_1$ касается параллельных прямых $AD$ и $BC$, расстояния от $O_1$ до этих прямых равны. Аналогично, окружность с центром $O_2$ касается прямых $AD$ и $BC$, поэтому расстояния от $O_2$ до них также равны. Следовательно, оба центра лежат на средней линии трапеции, то есть на прямой, параллельной основаниям. Поэтому $O_1O_2\parallel AD\parallel BC$.
Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(39,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+9,h)$, где $h$ — высота трапеции.
Используем длины боковых сторон:
$$x^2+h^2=100,\qquad (x+9-39)^2+h^2=900$$Вычитая первое равенство из второго, получаем:
$$(x-30)^2-x^2=800\quad\Rightarrow\quad -60x+900=800\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$$Тогда из первого равенства:
$$h^2=100-\frac{25}{9}=\frac{875}{9},\qquad h=\frac{5\sqrt{35}}{3}$$Оба центра имеют ординату $h/2$. Прямая $AB$ имеет уравнение $hx-\frac{5}{3}y=0$. Расстояние от точки $O_1=(t,h/2)$ до этой прямой равно радиусу окружности, то есть $h/2$. Поэтому:
$$\frac{\left|ht-\frac{5h}{6}\right|}{10}=\frac{h}{2}$$Для центра, расположенного внутри угла $DAB$, получаем $t=5+\frac{5}{6}=\frac{35}{6}$. Следовательно, $O_1=\left(\frac{35}{6},\frac h2\right)$.
Прямая $CD$ имеет уравнение $hx+\frac{85}{3}y-39h=0$. Для точки $O_2=(s,h/2)$ расстояние до этой прямой равно радиусу второй окружности, то есть $h/2$. Выбирая точку, лежащую внутри трапеции, получаем:
$$s=39-\frac{85}{6}-15=\frac{59}{6}$$Так как центры лежат на одной горизонтальной прямой, длина отрезка равна разности их абсцисс:
$$O_1O_2=\frac{59}{6}-\frac{35}{6}=4$$а) $O_1O_2\parallel AD\parallel BC$; б) $O_1O_2=4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что центры окружностей должны лежать на одной из диагоналей трапеции.
Неверно составлять уравнение для длины боковой стороны $CD$.
При вычислении координат центра выбирать внешнюю, а не внутреннюю биссектрису угла.
Забывать, что радиус каждой окружности равен половине высоты трапеции.