Решение: Трапеция и окружность
В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$.
Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = \sqrt{10}$, а $BC = 2BM$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $AD$ является диаметром окружности, угол $ACD$ прямой. Кроме того, $AB \perp AD$ и $BC \parallel AD$, поэтому $AB \perp BC$. Следовательно, $\angle BAM$ дополняет до $90^\circ$ угол между $AM$ и $BC$, то есть $\angle BAM=90^\circ-\angle AMC$.
$$\angle BAM=90^\circ-\angle AMC$$Четырёхугольник $ACDM$ вписан в окружность. Вписанные углы, опирающиеся на хорду $AC$, равны: $\angle AMC=\angle ADC$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ имеем $\angle CAD+\angle ADC=90^\circ$. Поэтому $\angle BAM=90^\circ-\angle ADC=\angle CAD$.
Для вычисления введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(0,\sqrt{10})$, $C=(c,\sqrt{10})$, $M=(m,\sqrt{10})$, где $BM=m$, $BC=c$. Уравнение окружности с диаметром $AD$ показывает, что произведение абсцисс точек пересечения с прямой $BC$ равно $AB^2$:
Так как $BC=2BM$, имеем $c=2m$. Тогда $cm=10$, поэтому $2m^2=10$, откуда $m=\sqrt{5}$, а $c=2\sqrt{5}$.
Поскольку корни соответствующего квадратного уравнения равны $m$ и $c$, их сумма равна длине основания $AD$. Следовательно, $AD=m+c=3\sqrt{5}$.
Диагонали трапеции пересекаются так, что расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $\dfrac{BC\cdot AD}{BC+AD}$. Поэтому
Площадь треугольника $AOB$ вычисляется по основанию $AB$ и высоте, равной расстоянию от $O$ до $AB$:
а) $\angle BAM=\angle CAD$; б) $S_{AOB}=3\sqrt{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют значение $AB=10$ вместо указанного на рисунке $AB=\sqrt{10}$.
Путают хорды $BM$ и $CM$ при применении теоремы о пересекающихся хордах.
Забывают, что $BC=BM+CM$, а из условия $BC=2BM$ следует $CM=BM$.
Неверно определяют высоту треугольника $AOB$ относительно основания $AB$.