Трапеция и окружность
В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$.
Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = \sqrt{10}$, а $BC = 2BM$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В трапеции угол прямой. Окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках и . а) Докажите, что . б) Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , а . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте тот факт, что угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. Учтите также, что $AB \perp AD$ и $BC \parallel AD$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Точки $A$, $C$, $D$, $M$ лежат на одной окружности, поэтому вписанные углы, опирающиеся на хорду $AC$, равны. Для вычислений введите координаты: $A=(0,0)$, $B=(0,\sqrt{10})$, $C=(c,\sqrt{10})$, $M=(m,\sqrt{10})$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из уравнения окружности следует $CM\cdot BM=AB^2=10$. Так как $BC=2BM$, получаем $BM=\sqrt{5}$ и $BC=2\sqrt{5}$. Далее $AD=BM+BC=3\sqrt{5}$, а площадь $AOB$ равна $3\sqrt{2}$.