Трапеция с перпендикулярными диагоналями
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=23$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Диагонали равнобедренной трапеции с основаниями и перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону в точке , а окружность с диаметром пересекает основание в точке . Отрезки и пересекаются в точке . а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если , . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Расположите трапецию в координатной системе симметрично относительно оси $Oy$ и используйте условие перпендикулярности диагоналей.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При $AD=23$ и $BC=7$ удобно взять $A\left(-\dfrac{23}{2},0\right)$, $D\left(\dfrac{23}{2},0\right)$, $B\left(-\dfrac{7}{2},h\right)$, $C\left(\dfrac{7}{2},h\right)$. Из перпендикулярности диагоналей найдите $h$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются точки $P\left(\dfrac{7}{2},8\right)$. Проверьте равенство $AB+CP=BC+PA$, а радиус найдите по формуле $r=\dfrac{S}{p}$.